重链剖分学习笔记

前言

树链剖分（简称树剖）是一种将树剖分成若干链维护信息解决问题的思想。本文讲的是其中的重链剖分，着重介绍较为基础的内容，旨在帮助初学者更好地理解并掌握。

附题单

求 LCA

定义（斜杠表示本文中对其可能有多种表示方法）：

\(d_u/dep_u\) 为点 \(u\) 的深度（到根的边数）。
\(sz_u/siz_u\) 为以 \(u\) 为根的子树大小。
\(f_u/fa_u\) 为点 \(u\) 的父亲。
\(h_u/hvy_u/hea_u/hson_u\) 为点 \(u\) 的一个儿子 \(v\) 满足 \(sz_v>\dfrac{sz_u}{2}\)，称为重儿子，一个点除重儿子外的儿子称为轻儿子。显然，一个点至多只有一个重儿子。
重边为点 \(u\) 与 \(h_u\) 之间的连边（如图中的\(\bf\color{red}红\)边）。轻边为树中除重边以外的边（\(\bf\color{blue}蓝\)边）：

重链为由连续的重边组成的极长链。特别地，若一个点没有重边与之相连，则也称这个点为重链。
\(t_u/top_u\) 为 \(u\) 所在重链中，深度最小的点，称之为链头。

upd：可以定义为子树大小最大的儿子。核心思想都是使得走一条连向父亲的轻边子树大小至少乘 \(2\)。

可以通过 DFS 求出上述量：

void dfs1(int u,int fa){//求 sz[u]，d[u]，f[u]。
    sz[u]=1;
    for(int v:g[u]){
        if(v^fa){
            d[v]=d[u]+1;
            dfs1(v,f[v]=u);
            sz[u]+=sz[v];
        }
    }
}
void dfs2(int u,int fa){//求 h[u]，t[u]。
    for(int v:g[u]){
        if(v^fa){
            if((sz[v]<<1)>sz[u]){
                t[h[u]=v]=t[u];
            }else{
                t[v]=v;
            }
            dfs2(v,u);
        }
    }
}

应用：洛谷 P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

给出 \(n\) 个点的有根树，根为 \(s\)。\(m\) 次询问，每次询问点 \(a,b\) 的最近公共祖先。

\(n,m\le 5\times 10^5\)。

考虑使用树链剖分。先看求 LCA 的代码：

int lca(int x,int y){
	while(t[x]^t[y]){
		if(d[t[x]]<d[t[y]]){
			swap(x,y);
		}
		x=f[t[x]];
	}
	if(d[x]>d[y]){
		swap(x,y);
	}
	return x;
}

该代码求解 LCA 的过程用两句话来讲就是：

若 \(x,y\) 在不同重链中，选取链头深度较大的点，让其跳过链头到达链头的父亲。
若 \(x,y\) 在同一重链中，深度小的点即为 LCA。

证明

定义：

\(x\leftarrow f_{t_x}\) 为跳链操作，显然一个点能进行跳链操作必须满足其链头深度较大。特殊地，维护同一重链上的信息也称为跳链操作（方便后文表达）。
\(LCA(x,y)\) 为 \(x,y\) 的 LCA，简称 LCA。

首先，最后跳到的节点一定是公共祖先，只需要证明它深度最大，即不是 LCA 的祖先。

考虑反证，假设某次跳链操作 \(x\) 越过了 LCA（设到达 LCA 的某个祖先 \(z\)），如图：

说明 LCA 到 \(x\) 之间的边全部是重边（\(\bf \color{red}红\)边）。则 LCA 向自己儿子中 \(y\) 所在子树的根的连边为轻边（\(\bf\color{orange}橙\)边）：

则 \(d_{t_x}\le d_{LCA(x,y)}\)，\(d_{t_y}> d_{LCA(x,y)}\)，\(d_{t_y}>d_{t_x}\)，这与 \(x\) 能进行跳链操作相矛盾。因此跳到的一定是 LCA，原命题得证。

接下来分析复杂度。因为 \(t_x\) 到 \(f_{t_x}\) 的那条边一定是轻边（不然 \(f_{t_x}\) 也在重链上，\(t_x\) 就不是重链上深度最小的点了）。根据轻边的性质，跳一条轻边所在子树大小至少乘 \(2\)（同一重链上的情况作为常数忽略）。所以跳链操作的次数是 \(\mathcal{O}(\log n)\) 级别的，因此单组询问也是 \(\mathcal{O}(\log n)\) 级别的。

所以，我们得到了一个时间复杂度为 \(\mathcal{O}(m\log n)\)，空间复杂度为 \(\mathcal{O}(n)\) 的做法。

MnZnOIerLzy

蒟蒻的小窝

重链剖分学习笔记

前言

求 LCA

树上问题转序列问题

边转点技巧

维护“存在性信息”小优化

结合“颜色限制”

维护树上子段信息

结合斐波那契数列（矩阵快速幂）

离线技巧

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