信友队 2023 游记

$7.10\text{ Day }1$

几乎没睡着。上午讲主定理和复杂度分析，根本不会，用递归树和单点乱搞，甚至还上去讲了一下。然后讲了 CF949E，$\ast 2700$ 的构造，听懂了，胡了一个证明，但是写假了 $\text{TLE on test }15$。wtcl /kk。

下午是模拟赛。由于一直在调 CF949E，晚了 $10\text{min}$。/fn。

先看 $\text{A}$。

• 给出长为 $n$ 的数组 $A,B$，求前 $n$ 大的乘积。

• $n\le {10}^5$。

$n$ 路归并模板，排序以及优先队列乱搞。

$\mathrm{赛}\mathrm{时}\mathrm{代}\mathrm{码}$

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,a[N],b[N];
priority_queue<pair<int,pair<int,int>>>q;
signed main(){
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>b[i];
	}
	sort(b+1,b+1+n,greater<int>());
	for(int i=1;i<=n;++i){
		q.push({a[i]*b[1],{1,i}});
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		pair<int,pair<int,int>>p=q.top();
		q.pop();
		cout<<p.first<<' ';
		q.push({a[p.second.second]*b[p.second.first+1],{p.second.first+1,p.second.second}});
	}
} 

$score=100+0+0+0=100$。

然后看了一会 $\text{B}$。感觉题意暧昧不清 ，于是去看 $\text{D}$。

• 给出 $n$ 个点的树，根为 $1$。点有点权 $a_i$，有两种操作：

  • $1,x,v$，$a_x\leftarrow a_x+v$。

  • $2,x$，查询 $x$ 到根路径上的点的点权和。

这不是树剖模板题吗？过了样例，兴致勃勃交了一发结果爆 $0$。自己造了个二叉树，发现边界搞错了，改了就过了。

$\mathrm{赛}\mathrm{时}\mathrm{代}\mathrm{码}$

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,m,a[N],d[N],sz[N],f[N],t[N],h[N],dfn[N],cnt,bit[N];
vector<int>g[N];
void modify(int x,int k){
	for(int i=x;i<=n;i+=i&(-i)){
		bit[i]+=k;
	}
}
int query(int x){
	int ret=0;
	for(int i=x;i;i-=i&(-i)){
		ret+=bit[i];
	}
	return ret;
}
void dfs1(int u,int fa){
	sz[u]=1;
	for(int v:g[u]){
		if(v^fa){
			d[v]=d[u]+1;
			dfs1(v,f[v]=u);
			sz[u]+=sz[v];
		}
	}
}
void dfs2(int u,int fa){
	for(int v:g[u]){
		if(v^fa){
			if((sz[v]<<1)>sz[u]){
				t[h[u]=v]=t[u];
			}else{
				t[v]=v;
			}
			dfs2(v,u);
		}
	}
}
void dfs3(int u,int fa){
	dfn[u]=++cnt;
	modify(cnt,a[u]);
	if(h[u]){
		dfs3(h[u],u);
	}
	for(int v:g[u]){
		if((v^fa)&&(v^h[u])){
			dfs3(v,u);
		}
	}
}
int Query(int x){
	int ret=0;
	while(x){
		ret+=query(dfn[x])-query(dfn[t[x]]-1);
		x=f[t[x]];
	}
	return ret;
}
signed main(){
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1,u,v;i^n;++i){
		cin>>u>>v;
		g[u].push_back(v);
		g[v].push_back(u);
	}
	dfs1(1,0);
	dfs2(t[1]=1,0);
	dfs3(1,0);
	for(int op,x,v;m--;){
		cin>>op>>x;
		if(op&1){
			cin>>v;
			modify(dfn[x],v);
		}else{
			cout<<Query(x)<<'\n';
		}
	}
}

$score=100+0+0+100=200$。

然后 $\text{B}$ 修正过来了，始做之。

• 给出 $n$ 个点的序列 $h_1\sim h_n$，求出最长的波形序列长度（即对于非两侧的数均大于或小于其两边的数）。

• $n\le {10}^5$，$0\le h_i\le {10}^6$。

像 dp。设以 $f_{i,0/1}$ 表示以 $i$ 结尾且 $i$ 为最小于/大于前一个数的最长波形序列。有 $f_{i,0}=\underset{j<i\wedge h_j>h_i}{max}\{f_j\}+1$，$f_{i,1}$ 类似。树状数组维护之。答案为 $\underset{i=1}{\overset{n}{max}}\{max\{f_{i,0},f_{i,1}\}\}$。一开始把 $i$ 打成 $x$ 了，只有 $10\text{pts}$，改了过了发现还是只有 $50\text{pts}$，特判了一下发现 $h$ 的值域是自然数题面又出锅了。然后经过调整值域就过了。

$\mathrm{赛}\mathrm{时}\mathrm{代}\mathrm{码}$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,h[N],bit[6][N*10],f[N][2],ans=1;
void modify(int id,int x,int k){
	for(int i=x;i<=1e6+2;i+=i&(-i)){
		bit[id][i]=max(bit[id][i],k);
	}
}
int query(int id,int x){
	int ret=0;
	for(int i=x;i;i-=i&(-i)){
		ret=max(bit[id][i],ret);
	}
	return ret;
}
int main(){
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>h[i];
		++h[i];
		f[i][0]=f[i][1]=1;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		f[i][0]=max(f[i][0],query(1,1e6+1-h[i])+1);
		f[i][1]=max(f[i][1],query(0,h[i]-1)+1);
		modify(0,h[i],f[i][0]);
		modify(1,1e6-h[i]+2,f[i][1]);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i){
		ans=max({ans,f[i][0],f[i][1]});
	}
	cout<<ans;
}

$score=100+100+0+100=300$。

最后看 $\text{C}$。

• 给出长度为 $n$ 的字符串 $A$ 和长度为 $m$ 的字符串 $B$。从左至右依次选取 $K$ 个 $A$ 的不相交子串，然后将它们依次首尾相连。求出使得连接后的串等于 $B$ 的方案数，模 ${10}^9+7$。

• $n\le {10}^3$，$K\le m\le 200$。

又是 dp，还是计数。以为自己要寄。还是硬着头皮推了一下方程。设 $f_{i,j,k}$ 为 $A$ 中前 $i$ 个字符，选取 $k$ 段，使得得到的串等于 $B$ 的前 $j$ 个字符。

考虑是否选取 $A$ 第 $i$ 位，不选则 $f_{i,j,k}\leftarrow f_{i,j,k}+f_{i-1,j,k}$，若选取，则找到 $A$ 的第 $i$ 位和 $B$ 的第 $j$ 位往前完全匹配的子段的最大长度 $p$，$f_{i,j,k}\leftarrow f_{i,j,k}+\sum _{q=1}^p{f}_{i-q,j-q,k-1}$。测了一发样例，没过。慌了，发现初始化忘了。改了一下，这次过了两个。先交一发，$30\text{pts}$，又 $\text{WA}$ 又 $\text{TLE}$，还没卡过。/fn。原来初始化错了，应该是 $f_{i,0,0}=1$。交了一发，$\text{TLE }90\text{pts}$。/fn。原来这玩意时间复杂度是 $\mathcal{O}(n{m}^{2}k)$ 的，寄。

真的寄了吗?发现第二类转移是一个求区间和的形式。具象成网格图，就是过格子 $(i,j)$ 往左上、右下走的一条斜线上，求一段连续格子权值的和，格子 $(x,y)$ 权值是 $f_{x,y,k-1}$。维护斜线的前缀和。把 $k$ 的循环放在最外面。设 $s_{i,j}$ 表示这条斜线一直到 $(0,j-i)$ 这些格子的值的和，有 $s_{i,j}=s_{i-1,j-1}+f_{i,j,k-1}$，注意一下边界 $0$。然后还要处理一下 $A_i$ 和 $B_j$ 往前的最长匹配 $pi{p}_{i,j}$，就是预处理之前的 $p$。这玩意写寄了调了好久。最后把那个 $\sum$ 表示成差分就行了。

测一发样例，挂得离谱。啊，每次求 $s$ 忘记清空了。还不对！额，右下端点搞错了应该是 $(i-1,j-1)$。所以第二个转移应该是 $f_{i,j,k}\leftarrow f_{i,j,k}+s_{i-1,j-1}-s_{i-pi{p}_{i,j}-1,j-pi{p}_{i,j}-1}$，同样注意边界，以及负数取模。时间、空间复杂度均为 $\mathcal{O}(nmk)$。终于过了。

$\mathrm{赛}\mathrm{时}\mathrm{代}\mathrm{码}$

#pragma GCC optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=1005,M=205;
const ll mod=1e9+7;
ll f[N][M][M],s[N][M];
int n,m,K,pip[N][M];
string A,B;
signed main(){
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n>>m>>K>>A>>B;
	A=' '+A;
	B=' '+B;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=1;j<=m;++j){
			bool ok=1;
			for(int k=1;k<=min(i,j);++k){
				if(A[i-k+1]^B[j-k+1]){
					pip[i][j]=k-1;
					ok=0;
					break;
				}
			}
			if(ok){
				pip[i][j]=min(i,j);
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<=n;++i){
		f[i][0][0]=1;
	}
	/*for(register int i=1;i<=n;++i){
		for(register int j=1;j<=m;++j){
			for(register int k=1;k<=min({K,j,i});++k){
				f[i][j][k]+=f[i-1][j][k];
				f[i][j][k]%=mod;
				int y,res=0;
				for(register int p=1;p<=min(i,j)&&A[i-p+1]==B[j-p+1];++p){
					f[i][j][k]+=f[i-p][j-p][k-1];
					res+=f[i-p][j-p][k-1];
					f[i][j][k]%=mod;
					y=p;
				}
				cout<<i<<' '<<j<<' '<<k-1<<' '<<res<<'\n';
			}
		}
	}*/
	for(int k=1;k<=min({n,m,K});++k){
		memset(s,0,sizeof s);
		for(int i=k-1;i<=n;++i){
			for(int j=k-1;j<=m;++j){
				s[i][j]=f[i][j][k-1]+(i&&j?s[i-1][j-1]:0);
				s[i][j]%=mod;
				//cout<<i<<' '<<j<<' '<<k-1<<' '<<s[i][j]<<'\n';
			}
		}
		for(int i=k;i<=n;++i){
			for(int j=k;j<=m;++j){
				f[i][j][k]+=f[i-1][j][k];
				f[i][j][k]%=mod;
				f[i][j][k]+=s[i-1][j-1]-(i-pip[i][j]&&j-pip[i][j]?s[i-pip[i][j]-1][j-pip[i][j]-1]:0)+mod;
				f[i][j][k]%=mod;
			}
		}
	}
	cout<<f[n][m][K];
}

$score=100+100+100+100=400$。AK 了！

但是老师说本来要卡 $\mathcal{O}(nmk)$ 的空间的，于是把 $k$ 这一维滚掉，时间复杂度不变，空间复杂度为 $\mathcal{O}(nm)$。一开始数组开小 $\text{RE}$ 了一发，随后过了。

$\mathrm{滚}\mathrm{动}\mathrm{数}\mathrm{组}\mathrm{代}\mathrm{码}$

#pragma GCC optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=1005,M=205;
const ll mod=1e9+7;
ll f[N][M],s[N][M],g[N][M];
int n,m,K,pip[N][M];
string A,B;
signed main(){
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n>>m>>K>>A>>B;
	A=' '+A;
	B=' '+B;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		for(int j=1;j<=m;++j){
			bool ok=1;
			for(int k=1;k<=min(i,j);++k){
				if(A[i-k+1]^B[j-k+1]){
					pip[i][j]=k-1;
					ok=0;
					break;
				}
			}
			if(ok){
				pip[i][j]=min(i,j);
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<=n;++i){
		f[i][0]=1;
	}
	/*for(register int i=1;i<=n;++i){
		for(register int j=1;j<=m;++j){
			for(register int k=1;k<=min({K,j,i});++k){
				f[i][j][k]+=f[i-1][j][k];
				f[i][j][k]%=mod;
				int y,res=0;
				for(register int p=1;p<=min(i,j)&&A[i-p+1]==B[j-p+1];++p){
					f[i][j][k]+=f[i-p][j-p][k-1];
					res+=f[i-p][j-p][k-1];
					f[i][j][k]%=mod;
					y=p;
				}
				cout<<i<<' '<<j<<' '<<k-1<<' '<<res<<'\n';
			}
		}
	}*/
	for(int k=1;k<=min({n,m,K});++k){
		for(int i=0;i<=n;++i){
			for(int j=0;j<=m;++j){
				g[i][j]=f[i][j];
				f[i][j]=0;
			}
		}
		memset(s,0,sizeof s);
		for(int i=k-1;i<=n;++i){
			for(int j=k-1;j<=m;++j){
				s[i][j]=g[i][j]+(i&&j?s[i-1][j-1]:0);
				s[i][j]%=mod;
				//cout<<i<<' '<<j<<' '<<k-1<<' '<<s[i][j]<<'\n';
			}
		}
		for(int i=k;i<=n;++i){
			for(int j=k;j<=m;++j){
				f[i][j]+=f[i-1][j];
				f[i][j]%=mod;
				f[i][j]+=s[i-1][j-1]-(i-pip[i][j]&&j-pip[i][j]?s[i-pip[i][j]-1][j-pip[i][j]-1]:0)+mod;
				f[i][j]%=mod;
			}
		}
	}
	cout<<f[n][m];
}

总结一下，$\text{A}<\text{B}<\text{D}<\text{C}$。/cf。

继续调 CF949E，还是老样子 /fn。老师让我上去讲一下 $\text{C}$ 做法。

晚自习打了把初赛，阅读程序是啥啊。/kk。根本看不懂 /lb。不过完善程序板的要死 /cf。测出来居然有 $79\text{pts}$。

$7.11\text{ Day }2$

上午讲的二分，给了一堆神仙题。先是 CF1016E。一开始题目看反了 /cf。不过做法是差不多的。一开始只会 $\mathcal{O}(nq)$ 的暴力，然后 yqc 提了一嘴前缀和，会了 /bx。$\text{AC}$ 了。写了题解。