洛谷P1306 斐波那契公约数（数论+证明）

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题目大意：给你一个n，m（1<=n,m<=1e9），求__gcd（F[n]，F[m]）%1e8.

首先我在这里提出一个数论定理：__gcd（F[n]，F[m]）=F[__gcd（n，m）]。

 

其实在知道这个数论定理后这题就变得非常容易了，只需要求出n,m的最大公约数，然后利用矩阵加速求F[__gcd（n，m）]对1e8取模即可。

但是这个定理为什么是正确的呢？

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证明如下：

设n<m，且F[n]=a，F[n+1]=b

　　　　　F[n+2]=a+b

　　　　　F[n+3]=a+2*b=F[n]+2*F[n+1]

　　　　　F[n+4]=2*a+3*b=2*F[n]+3*F[n+1]

　　　　　F[n+5]=3*a+5*b=3*F[n]+5*F[n+1]

　　　　　...

不难发现    F[n+x]=F[x-1]*F[n]+F[x]*F[n+1]

　　　　　F[m]=F[m-n-1]*F[n]+F[m-n]*F[n+1]

所以 __gcd（F[n]，F[m]）=__gcd（F[n]，F[m-n-1]*F[n]+F[m-n]*F[n+1]）;

因为 　F[m-n-1]*F[n]%F[n]==0

所以　__gcd（F[n]，F[m]）=__gcd（F[n]，F[m-n]*F[n+1]）;

 

证明之路似乎在这里卡住了，因为这个式子很难再去化简，而单从这个式子也很难看出什么东西，这时我们就需要另一个引理：__gcd（F[n]，F[n+1]）=1；

关于引理的证明比较简单：

　　__gcd（F[n]，F[n+1]）=__gcd（F[n]，F[n]+F[n-1]）

　　　　　　　　　　　　 =__gcd（F[n]，F[n-1]）

　　　　　　　　　　　　 =__gcd（F[n-1]+F[n-2]，F[n-1]）

　　　　　　　　　　　　 =__gcd（F[n-2]，F[n-1]）

　　　　　　　　　　　　 ......

　　　　　　　　　　　　 =__gcd（F[1]，F[2]）=1

我们在得出__gcd（F[n]，F[n+1]）=1 后就可以继续对__gcd（F[n]，F[m]）=__gcd（F[n]，F[m-n]*F[n+1]）进行化简

最后__gcd（F[n]，F[m]）=__gcd（F[n]，F[m-n]）

　　　　　　　　　　　  =__gcd（F[n]，F[m%n]）

　　　　　　　　　　　  ......

　　　　　　　　　　　  =F[__gcd（n，m）]

于是，证明完成~

 

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下面放上这题AC代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
const int MAXN = 1e6+10;
const double EPS = 1e-12;
const ll mod = 1e8;

ll n,mm;
struct Mat{
    ll m[5][5];
    Mat(){
        memset(m,0,sizeof(m));
    }
    inline void build(){
        for(int i=1;i<=2;i++)m[i][i]=1;
    }
}a;

Mat Mul(Mat x,Mat y){
    Mat c;
    for(int i=1;i<=2;i++)
        for(int j=1;j<=2;j++)
            for(int k=1;k<=2;k++)
                c.m[j][i]=(c.m[j][i]+x.m[j][k]*y.m[k][i]%mod)%mod;
    return c;
}

Mat poww(Mat x,ll y){
    Mat aa;aa.build();
    while(y){
        if(y&1)aa=Mul(aa,x);
        x=Mul(x,x);
        y>>=1;
    }
    return aa;
}

int main()
{
    scanf("%lld %lld",&n,&mm);
    ll p=__gcd(n,mm);
    a.m[1][1]=a.m[2][1]=a.m[1][2]=1;
    Mat ans=poww(a,p-1);
    printf("%lld",ans.m[1][1]);
}