【算法学习笔记】min-max容斥 极值反演

max-min容斥（极值反演）

即为下式：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& max\{S\}=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}min\{T\}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& min\{S\}=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}max\{T\}\end{array}$$

证明： 证明 $\text{(1)}$ 式即可，$\text{(2)}$ 式同理。

假设 $max\{S\}=\sum _{T\subseteq S}f(|T|)min\{T\}$，则 $f(|T|)$ 为容斥系数
显然，第 $k$ 小的元素，仅当 $k$ 为 $min\{T\}$ 时有贡献，那么这样的集合 $T$ 有 $\sum _{i=0}^{|S|-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{|S|-k}{i})$ 个。

则第 $|S|$ 小的元素即为 $max\{S\}$，由上可得

$$\sum _{i=0}^{|S|-k}f(i+1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{|S|-k}{i})=[k=|S|]$$

即为

$$\sum _{i=0}^{n}f(i+1)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=[n=0]$$

引理1.1 二项式反演

$$g(n)=\sum _{i=0}^{n}f(i)(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})\iff f(n)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})g(i)$$

证明可见 OI-wiki

由 引理1.1 得

$$f(n+1)=\sum _{i=0}^n(-1{)}^{n-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})[i=0]$$

将 $f(n+1)$ 自变量化为 $1$，并整理

$$\begin{array}{}\text{(3)}& f(n)& =\sum _{i=0}^{n-1}(-1{)}^{n-i-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i})[i=0]\text{(4)}& f(n)& =(-1{)}^{n-1}\end{array}$$

带入 $|T|$

$$f(|T|)=(-1{)}^{|T|-1}=(-1{)}^{|T|+1}◻$$

max-min容斥的期望

引理2.1

$$E(\sum a_{i}X)=\sum a_{i}E\left(X\right)$$

则

$$E(max\{S\})=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}E(min\{T\})$$

$$E(min\{S\})=\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|+1}E(max\{T\})$$

Card Collector

题目大意
有 $N$ 种卡片，每次购买有 $p_i$ 的概率买到第 $i$ 种，求使得每种都买到的期望购买次数。

数据范围
$1\le N\le 20,\sum p_i\le 1$

我们发现，在这题里，设首次获得物品 $i$ 所需的操作次数为 $x_i$，那么问题就转化成了求

$$E(max\{x_i|i\in [1,n]\})$$

而此式很难求，考虑用 max-min容斥 转化为求 $E(minS),S\subseteq \{x_i|i\in [1,n]\}$。
而在本题中，

$$E(minS)={\displaystyle \frac{1}{\sum _{i\in S}{p}_i}}$$

由此即可求得。