树形dp学习笔记

我们通常采用递归的方式实现树形dp。

对于每个节点，先递归在它的每个子节点上进行dp，在回溯时，从子节点向根节点进行状态转移。

顺序一般为从叶子结点到根节点递推。

 

以下是写的一些树形dp题目：

 一.  P1352 没有上司的舞会

以子树的根作为dp状态的第一维。容易发现，每个员工是否参加至于他的上司是否参加有关。

不妨设

1.  f[x,0] 表示从以 x 为根的子树中选员工参会，而且不选 x 的最大价值。

那么我们得到：x的子节点 s 可以选，也可以不选，那么 f[x,0] 即为子节点选或不选的最大值。

　　　　f[x,0]=∑max( f[s,0] , f[s,1] )

 

2.  f[x,1] 表示选 x 的最大价值。

此时发现：f[x,1]只能等于f[s,0]+自己的快乐指数。

　　　　f[x,1]=∑f[s,0] + h[x]

于是基本解决了这道题。

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
vector<int>son[10010];
int f[10010][2],v[10010],h[10010],n;
void dp(int x)
{
    f[x][0]=0;
    f[x][1]=h[x];
    for(int i=0;i<son[x].size();i++)
    {
        int y=son[x][i];
        dp(y);
        f[x][0]+=max(f[y][0],f[y][1]);
        f[x][1]+=f[y][0];
    }
}
//注意:需要先找到总上司。
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>h[i];
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        v[x]=1;
        son[y].push_back(x);
    }
    int u;
    for(int i=1;i<=n;i++) if(!v[i]) u=i;
    dp(u);
    cout<<max(f[u][0],f[u][1]);
    return 0;
}

 

 

　　

 

 

二.背包类树形dp（树上背包）

参考树形 DP - OI Wiki (oi-wiki.org)

 

三.换根dp。

换根dp在模拟赛的时候到处跑。想出来就是萌萌题。

 [POI2008]STA-Station 作为例子。

我们需要进行两次dfs。

dfs1，处理出每个点的深度以及子树中点的个数。

考虑每次换根的时候子树的节点数变化。

观察。

设根节点从 x 变为 y ，那么在 y 的子树内的节点深度都将+1，而其他节点深度都将-1。

先处理出当1为根节点时的总深度 f[1] 作为初始状态。那么对于每次换根操作，f[y]=f[x]+n-2*s[y]。

这样我们的换根操作就解决了，即dfs2。

最后统计答案即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
const int N=1000010;
int h[N<<1],ne[N<<1],idx,e[N<<1];
ll n;
ll sz[N],dep[N],f[N];
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0' && ch<='9')
        x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}

void add(int a,int b)
{
    e[++idx]=b;
    ne[idx]=h[a];
    h[a]=idx;
}
void dfs1(int u,int fa)
{
    sz[u] = 1;
      dep[u] = dep[fa] + 1;
    for(int i=h[u];i;i=ne[i])
    {
        int j=e[i];
        if(j!=fa)
        {
            dfs1(j,u);
            sz[u]+=sz[j];
        }
    }
}
void dfs2(int u, int fa) {  
    for (int i=h[u];i; i =ne[i]) {
          int j = e[i];
        　if (j != fa) {
          　　f[j] = f[u] - sz[j] * 2 + n;
          　　dfs2(j, u);
        }
      }
}
signed main()
{
//    memset(h,-1,sizeof h);
//    memset(ne,-1,sizeof ne);
    n=read();
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y;
    //    cin>>x>>y;
        x=read(),y=read();
        add(x,y);
        add(y,x);
    }
    dfs1(1,1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) f[1] += dep[i];
    dfs2(1, 1);
    long long int ans = -1;
    int id;
    for (int i = 1; i <= n; i++) { 
        if (f[i] > ans) {
          ans = f[i];
          id = i;
        }
    }
      cout<<id;
    return 0;
}