学习笔记——分块

分块

我们先引入一道题：
有一个长度为 $N$ 的数列 $A$，然后输入 $Q$ 行指令操作。一种是将数列中 $l\sim r$ 个数都加 $d$，另一种则是询问数列中 $l\sim r$ 个数的和。
用线段树或树状数组能在 $\mathcal{O}((N+Q)\log N)$ 的时间内解决，那么用分块呢？

预处理

把数列 $A$ 分成若干长度不超过 $\lfloor \sqrt{N}\rfloor$ 的段，第 $i$ 段的左端点是 $(i-1)\lfloor \sqrt{N}\rfloor +1$，右端点是 $min(i\lfloor \sqrt{N}\rfloor ,N)$。
然后算出每段的前缀和数组 $sum$ ，将每段的增量标记 $add$ 赋值为 $0$。

tmp=sqrt(n);
for(int i=1;i<=tmp;i++){
    L[i]=(i-1)*sqrt(n)+1;
    R[i]=i*sqrt(n);
}
if(R[tmp]<n)tmp++,L[tmp]=R[tmp-1]+1,R[tmp]=n;
for(int i=1;i<=tmp;i++){
    for(int j=L[i];j<=R[i];j++){
        pos[j]=i;
        sum[i]+=a[j];
    }
}

区间加法

1. 如果 $l$ 与 $r$ 同时处于第 $i$ 段内，则直接将 $A\left[l\right],A[l+1],\cdots ,A\left[r\right]$ 都加 $d$ ，同时改变前缀和数组 $sum\left[i\right]+=d\ast (r-l+1)$。
2. 设 $l$ 在 $p$ 段，$r$ 在 $q$ 段。那么对于 $i\in [p+1,q-1]$，令 $add\left[i\right]+=d$。而对于不足一整段的开头和结尾两部分则按照第 $1$ 种情况更新。

void change(int l,int r,int d){
    int p=pos[l],q=pos[r];//pos数组存储每个位置是哪一段
    if(p==q){
        for(int i=l;i<=r;i++)a[i]+=d;
        sum[p]+=d*(r-l+1);
    }else{
        for(int i=p+1;i<=q-1;i++)add[i]+=d;
        for(int i=l;i<=R[p];i++)a[i]+=d;
        sum[p]+=d*(R[p]-l+1);
        for(int i=L[q];i<=r;i++)a[i]+=d;
        sum[q]+=d*(r-L[q]+1);
    }
}

区间求和

1. 如果 $l$ 与 $r$ 同时处于第 $i$ 段内，则答案就是 $add\left[i\right]\ast (r-l+1)+(A\left[l\right]+A[l+1]+\cdots +A\left[r\right])$。
2. 设 $l$ 在 $p$ 段，$r$ 在 $q$ 段，$ans$ 为 $0$。那么对于 $i\in [p+1,q-1]$，令 $ans+=sum\left[i\right]+add\left[i\right]\ast len\left[i\right]$，$len\left[i\right]$ 表示第 $i$ 段长度。而对于不足一整段的开头和结尾两部分则按照第 $1$ 种情况计算。

int ask(int l,int r){
    int p=pos[l],q=pos[r];
    int ans=0;
    if(p==q){
        for(int i=l;i<=r;i++)ans+=a[i];
        ans+=add[p]*(r-l+1);
    }else{
        for(int i=p+1;i<=q-1;i++)
            ans+=sum[i]+add[i]*(R[i]-L[i]+1);
        for(int i=l;i<=R[p];i++)ans+=a[i];
        ans+=add[p]*(R[p]-l+1);
        for(int i=L[q];i<=r;i++)ans+=a[i];
        ans+=add[q]*(r-L[q]+1);
    }
    return ans;
}

Example

这里以Luogu P2801为例。
分块好题，只不过预处理时需要排序。

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define MAX 1000005
using namespace std;
int n,q,a[MAX],b[MAX],tmp,L[MAX],R[MAX],add[MAX],sum[MAX],pos[MAX];
char ch;
void change(int l,int r,int w){
    int p=pos[l],q=pos[r];
    if(p==q){
        for(int i=l;i<=r;i++)a[i]+=w;
        for(int i=L[p];i<=R[q];i++)b[i]=a[i];
        sort(b+L[p],b+R[q]+1);
    }else{
        for(int i=p+1;i<=q-1;i++)add[i]+=w;
        for(int i=l;i<=R[p];i++)a[i]+=w;
        for(int i=L[p];i<=R[p];i++)b[i]=a[i];
        sort(b+L[p],b+R[p]+1);
        for(int i=L[q];i<=r;i++)a[i]+=w;
        for(int i=L[q];i<=R[q];i++)b[i]=a[i];
        sort(b+L[q],b+R[q]+1);
    }
}
int ask(int l,int r,int w){
    int p=pos[l],q=pos[r];
    int ans=0,t;
    if(p==q){
        for(int i=l;i<=r;i++){
            if(add[p]+a[i]>=w)ans++;
        }
    }else{
        for(int i=p+1;i<=q-1;i++){
            t=lower_bound(b+L[i],b+R[i]+1,w-add[i])-b;
            ans+=R[i]-t+1;
        }
        for(int i=l;i<=R[p];i++){
            if(add[p]+a[i]>=w)ans++;
        }
        for(int i=L[q];i<=r;i++){
            if(add[q]+a[i]>=w)ans++;
        }
    }
    return ans;
}
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>n>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i],b[i]=a[i];
    tmp=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=tmp;i++){
        L[i]=(i-1)*sqrt(n)+1;
        R[i]=i*sqrt(n);
    }
    if(R[tmp]<n)tmp++,L[tmp]=R[tmp-1]+1,R[tmp]=n;
    for(int i=1;i<=tmp;i++){
        for(int j=L[i];j<=R[i];j++){
            pos[j]=i;
            sum[i]+=a[j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=tmp;i++){
        sort(b+L[i],b+R[i]+1);
    }
    int l,r,w;
    while(q--){
        cin>>ch>>l>>r>>w;
        if(ch=='M')change(l,r,w);
        else cout<<ask(l,r,w)<<'\n';
    }
    return 0;
}