学习笔记——ST算法

ST 算法

ST 算法是一种运用倍增来解决 RMQ 问题也就是区间最值问题的算法。
给定一个长度为 $N$ 的序列 $A$，ST 算法能在 $\mathcal{O}(N\log N)$ 的时间预处理后，以 $\mathcal{O}(1)$ 的时间在线回答区间最值问题。
设 $F_{i,j}$ 表示序列 $A$ 中下标在子区间 $[i,i+2^j-1]$ 里的数的最大值，也就是从 $i$ 开始 $2^j$ 个数的最大值。边界是 $F_{i,0}=A_i$。
在递推时我们将子区间的长度成倍增长，$F_{i,j}=max(F_{i,j-1},F_{i+2^{j-1},j-1})$，即长度为 $2^j$ 的子区间的最大值是左右两边长度为 $2^{j-1}$ 的子区间的最大值中大的那一个。

for(int i=1;i<=n;i++){
	f[i][0]=a[i];
}
for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
	for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
		f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
	}
}

当询问区间 $[l,r]$ 的最值时，先找出一个 $k$，满足 $2^k\le r-l+1\le 2^{k+1}$，那么从 $l$ 开始的 $2^k$ 个数和以 $r$ 结尾的 $2^k$ 个数一定覆盖了整个区间。
而这两段的最大值分别为 $F_{l,k}$ 和 $F_{r-2^k+1,k}$，所以整个区间的最值就是这两段中大的那一个。

int ST(int l,int r){
	int k=log(r-l+1)/log(2);
	return max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
}

Example

这里以Luogu P3865为例。
一道模版题，直接看代码就行。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,a[100005],l,r,f[100005][155];
int ST(int l,int r){
	int k=0;
	while(l+(1<<k+1)-1<=r){
		k++;
	}
	return max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		f[i][0]=a[i];
	}
	for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
		for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
			f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cin>>l>>r;
		cout<<ST(l,r)<<'\n';
	}
	return 0;
}