网络流 24 题
只要默认前面 \(m\) 个都是外国的，然后剩下的都是英国的，接着暴力建图跑 Dinic 即可。
貌似只需要弄一个源点 \(0\) 和汇点 \(n+1\) 即可。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 2e4 + 10;
int n, m, cnt = 1;
int head[N], dep[N];
bool vis[N];
struct Edge {
int to, nxt, val;
} e[N];
void addEdge(int u, int v, int w) {
e[++cnt].to = v;
e[cnt].nxt = head[u];
e[cnt].val = w;
head[u] = cnt; return ;
}
bool check() {
for (int i=0; i<=n+1; ++i) dep[i] = 0;
dep[0] = 2; queue <int> sp; sp.push(0);
while (!sp.empty()) {
int cur = sp.front(); sp.pop();
for (int i=head[cur]; i; i=e[i].nxt) {
int to = e[i].to;
if (!dep[to] && e[i].val) {
dep[to] = dep[cur] + 1, sp.push(to);
if (to==n+1) return true;
}
}
}
return false;
}
int dfs(int cur, int Max) {
if (cur==n+1) return Max;
int increase = Max;
for (int i=head[cur]; i&&increase; i=e[i].nxt) {
int to = e[i].to;
if (e[i].val && dep[to]==dep[cur]+1) {
int res = dfs(to, min(increase, e[i].val));
e[i].val -= res, e[i^1].val += res;
if (!res) dep[to] = 0;
increase -= res;
}
}
return Max-increase;
}
void read(int &ret) {
ret = 0; char ch = getchar(); int f = 1;
while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch = getchar();
if (ch=='-') f = -1, ch = getchar();
while (isdigit(ch)) {
ret = (ret<<1) + (ret<<3) + (ch^48);
ch = getchar();
} ret *= f; return ;
}
int main() {
read(m), read(n);
while (1) {
int u, v; read(u), read(v);
if (u==-1 && v==-1) break;
addEdge(u, v, inf);
addEdge(v, u, 0);
}
for (int i=1; i<=m; ++i)
addEdge(0, i, 1), addEdge(i, 0, 0);
for (int i=m+1; i<=n; ++i)
addEdge(i, n+1, 1), addEdge(n+1, i, 0);
int ans = 0;
while(check()) ans += dfs(0, inf);
cout << ans << endl;
for (int i=2; i<=cnt; i+=2) {
if (!e[i^1].val) continue;
if (!e[i].to || !e[i^1].to) continue;
if (e[i].to==n+1) continue;
if (e[i^1].to==n+1) continue;
printf("%d %d\n", e[i^1].to, e[i].to);
}
return 0;
}
这道题最重要的是连边。
那么很显然的拆点技巧，将一天拆成服务和收工两个点，即 i+N 和 i，后前两个点。
那么源点为 0，汇点为 2*N+1。
- 要购买餐巾
显然从源点处购买，直接建边 add(0,i+N,inf,p)。
- 偷懒先不洗餐巾
显然直接延到下一天，add(i,i+1,inf,0)。
- 快洗
显然直接丢到 \(m\) 天后，add(i,i+N+m,inf,f)。
- 慢洗
同理丢到 \(n\) 天后，add(i,i+N+n,inf,s)。
然后每一天要跑至少为 r[i] 的流量，直接源点连收工，汇点连服务。
然后跑一遍最小费用最大流即可。
nt 的地方：DFS 要标记 cur，数组不要开小。
要是写对了正解然后数组开小了那就真的是个 zz。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN = 2e3 + 10;
const int inf = 2e9;
int N, cnt = 1, head[MAXN*12];
int p, m, f, n, s, dist[MAXN*12];
bool inq[MAXN*2], vis[MAXN*2];
int cost;
struct Edge {
int to, nxt, flow, val;
} e[MAXN*12];
void addEdge(int u, int v, int f, int w) {
e[++cnt].to = v;
e[cnt].nxt = head[u];
e[cnt].flow = f, e[cnt].val = w;
head[u] = cnt;
e[++cnt].to = u;
e[cnt].nxt = head[v];
e[cnt].flow = 0, e[cnt].val = -w;
head[v] = cnt; return ;
}
void read(int &ret) {
ret = 0; char ch = getchar();
while (!isdigit(ch)) ch = getchar();
while (isdigit(ch)) {
ret = (ret<<1) + (ret<<3) + (ch^48);
ch = getchar();
} return ;
}
bool spfa() {
for (int i=0; i<=2*N+1; ++i)
dist[i] = inf, inq[i] = false;
dist[0] = 0, inq[0] = true;
queue <int> sp; sp.push(0);
while (!sp.empty()) {
int cur = sp.front(); sp.pop();
inq[cur] = false;
for (int i=head[cur]; i; i=e[i].nxt) {
int to = e[i].to;
if (e[i].flow && dist[to]>dist[cur]+e[i].val) {
dist[to] = dist[cur] + e[i].val;
if (!inq[to]) inq[to] = true, sp.push(to);
}
}
}
return dist[2*N+1] < inf;
}
int dfs(int cur, int Max) {
if (cur == 2*N+1) { vis[cur] = true; return Max; }
int increase = Max; vis[cur] = true;
for (int i=head[cur]; i && increase; i=e[i].nxt) {
int to = e[i].to;
if ((!vis[to] || to==MAXN) && e[i].flow && dist[to]==dist[cur]+e[i].val) {
int res = dfs(to, min(increase, e[i].flow));
if (!res) continue;
e[i].flow -= res, e[i^1].flow += res;
cost += res * e[i].val, increase -= res;
}
}
return Max-increase;
}
signed main() {
cin >> N;
for (int i=1; i<=N; ++i) {
int r; cin >> r;
addEdge(0, i, r, 0);
addEdge(i+N, 2*N+1, r, 0);
}
cin >> p >> m >> f >> n >> s;
// begin point: i
// ending point: i+N
for (int i=1; i<=N; ++i) {
addEdge(0, i+N, inf, p);
if (i<N) addEdge(i, i+1, inf, 0);
if (i+m<=N) addEdge(i, i+N+m, inf, f);
if (i+n<=N) addEdge(i, i+N+n, inf, s);
}
while (spfa()) {
for (int i=0; i<=2*N+1; ++i) vis[i] = false;
dfs(0, inf);
}
cout << cost << endl;
return 0;
}
这道题为什么要网络流啊。
难道不是直接暴力 BFS 寻找路径吗？
直接状压一下钥匙，然后每一次到达门就看有没有钥匙就可以了。
nt 的地方：x(x), y(y) 写成了 x(x), y(x) ... ...
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 11;
const int dx[] = {0, 1, 0, -1};
const int dy[] = {1, 0, -1, 0};
int n, m, p, k, s, door[N][N][N][N];
int cnt[N][N], key[N][N][N];
bool vis[N][N][1<<N];
struct spread {
int x, y, Key, cost;
spread(int x, int y, int Key, int cost):
x(x), y(y), Key(Key), cost(cost) {}
spread() {}
};
int keyset(int x, int y) {
int S = 0;
for (int i=1; i<=cnt[x][y]; ++i)
S |= (1<<(key[x][y][i]-1));
return S;
}
bool check(int x, int y, int k, int st) {
if (x<1 || x>n) return false;
if (y<1 || y>m) return false;
if (k<0 || (k && !(st&(1<<(k-1))))) return false;
return true;
}
int bfs() {
int x = 1, y = 1;
int S = keyset(x, y);
queue <spread> que; que.push(spread(x, y, S, 0));
vis[x][y][S] = true;
while (!que.empty()) {
spread cur = que.front(); que.pop();
x = cur.x, y = cur.y, S = cur.Key;
if (x==n && y==m) return cur.cost;
for (int i=0; i<4; ++i) {
int tox = x + dx[i], toy = y + dy[i];
int Door = door[x][y][tox][toy];
if (!check(tox, toy, Door, S)) continue;
int to = S|keyset(tox, toy);
if (vis[tox][toy][to]) continue;
vis[tox][toy][to] = true;
que.push(spread(tox, toy, to, cur.cost+1));
}
}
return -1;
}
int main() {
cin >> n >> m >> p >> k;
while (k--) {
int x, y, X, Y, G;
cin >> x >> y >> X >> Y >> G;
if (G) door[x][y][X][Y] = door[X][Y][x][y] = G;
else door[x][y][X][Y] = door[X][Y][x][y] = -1;
}
cin >> s;
while (s--) {
int x, y, Q; cin >> x >> y >> Q;
key[x][y][++cnt[x][y]] = Q;
}
cout << bfs() << endl;
return 0;
}
众所周知最小路径覆盖 \(=\) 顶点数 \(-\) 最大匹配数，这个是很显然的。
Proof：因为对于每一个点一开始都可以作为一条路径，所以一开始就有 \(n\) 条路径。因为每一次匹配相当于把两个点合并，所以路径条数相当于减掉了 \(1\)，所以最大匹配数就是合并的个数，所以最后就是 \(n-\)最大匹配数。
又因为二分图可以网络流乱搞，所以路径覆盖也可以网络流乱搞。
所以正常的 trick，拆点跑最大流。
路径输出比较正常，直接在 DFS 的时候找到起始点然后记录路径即可。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
void read(int &ret) {
ret = 0; char ch = getchar();
while (!isdigit(ch)) ch = getchar();
while (isdigit(ch)) {
ret = (ret<<1) + (ret<<3) + (ch^48);
ch = getchar();
} return ;
}
const int N = 1e5 + 10;
const int inf = 1e9;
int n, m, s, t, cnt = 1;
int dep[N], head[N]; bool inq[N];
int cost, path[N]; bool vis[N];
struct Edge {
int to, nxt, flow;
} e[N];
void addEdge(int u, int v, int f) {
e[++cnt].to = v;
e[cnt].nxt = head[u];
e[cnt].flow = f; head[u] = cnt;
e[++cnt].to = u;
e[cnt].nxt = head[v];
e[cnt].flow = 0; head[v] = cnt;
return ;
}
bool check() {
for (int i=0; i<=t; ++i)
dep[i] = inf, inq[i] = false;
dep[s] = 0; queue <int> sp;
sp.push(s); inq[s] = true;
while (!sp.empty()) {
int cur = sp.front(); sp.pop();
for (int i=head[cur]; i; i=e[i].nxt) {
int to = e[i].to;
if (e[i].flow && dep[to]==inf) {
dep[to] = dep[cur] + 1, sp.push(to);
}
}
}
return dep[t] ^ inf;
}
int dfs(int cur, int Max) {
if (cur==t) return Max;
int increase = Max;
for (int i=head[cur]; i && increase; i=e[i].nxt) {
int to = e[i].to;
if (e[i].flow && dep[to]==dep[cur]+1) {
int res = dfs(to, min(increase, e[i].flow));
if (!res) { dep[to] = -1; continue; }
e[i].flow -= res, e[i^1].flow += res;
path[cur] = to; if (cur) vis[to-n] = true;
increase -= res;
}
}
return Max-increase;
}
int main() {
cin >> n >> m; t = 2*n+1;
for (int i=1; i<=m; ++i) {
int u, v; cin >> u >> v;
addEdge(u, n+v, 1);
}
for (int i=1; i<=n; ++i) addEdge(s, i, 1);
for (int i=1; i<=n; ++i) addEdge(i+n, t, 1);
int ans = 0; while (check()) ans += dfs(s, inf);
for (int i=1; i<=n; ++i) {
if (vis[i]) continue;
int cur = i; cout << i;
while(path[cur] && path[cur]^t)
cout << ' ' << path[cur]-n, cur = path[cur]-n;
cout << endl;
}
cout << n-ans << endl;
return 0;
}
听名字还挺高大上的。
其实就是个卡牌游戏啊，只不过每一次只可以交换环上相邻两个。
那么直接断环成链，拿原数减掉最后的固定答案然后前缀和加到 ans。
顺带卡了下常，12ms 最优解 Rank1。
#include <stdio.h>
int n, sum, ans, a[110], Sum[110];
int abs(int x) { return x>0? x:-x; }
void qsort(int l, int r) {
int mid = Sum[(l+r)>>1];
int i=l, j=r;
do {
while (Sum[i]<mid) ++i;
while (Sum[j]>mid) --j;
if(i<=j) {
int u=Sum[i]; Sum[i]=Sum[j]; Sum[j]=u;
i++, j--;
}
} while (i<=j);
if (l<j) qsort(l, j);
if (i<r) qsort(i, r);
return ;
}
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i=1; i<=n; ++i)
scanf("%d", &a[i]), sum += a[i];
sum /= n;
for (int i=1; i<=n; ++i)
Sum[i] = Sum[i-1]+a[i]-sum, a[i] = Sum[i];
qsort(1, n); int mid = n/2+1;
for (int i=1; i<=n; ++i)
ans += abs(Sum[mid]-Sum[i]);
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
简单题。
首先看到点有限制，直接拆点。
那么因为没有给出单源点和汇点，分别建一个。
接着可以将 * 视为连向源点，所以边权为 \(1\)。
同理 # 视为连向汇点，边权为限制 \(p\)。
然后因为 . 只能踩一次，所以拆成两个点，两个点之间的限制为 \(1\)。
@ 可以踩无数次，所以连 INF。
接着因为周边四个点都可以扩展到（除起始点和水显然不可以扩展）。
所以连容量为 INF 的边。
然后跑一遍最大流。
记得多测 cnt 要赋成 \(1\) 而不是 \(0\)。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
const int inf = 1e9;
const int dx[4] = {1, 0, -1, 0};
const int dy[4] = {0, 1, 0, -1};
int n, m, p, s, t, cnt = 1;
int dep[N], head[N]; char ch[40][40];
struct Edge {
int to, nxt, flow;
} e[N];
void addEdge(int u, int v, int f) {
e[++cnt].to = v, e[cnt].nxt = head[u];
e[cnt].flow = f, head[u] = cnt;
e[++cnt].to = u, e[cnt].nxt = head[v];
e[cnt].flow = 0, head[v] = cnt;
}
bool check(int x, int y) {
return x<1 || x>n || y<1 || y>m;
}
void init() {
cnt = 1; t = 2*n*m + 1;
for (int i=1; i<=n; ++i)
for (int j=1; j<=m; ++j) cin >> ch[i][j];
memset(head, -1, sizeof head);
return ;
}
int id(int x, int y) { return (x-1)*m+y; }
bool spfa() {
for (int i=s; i<=t; ++i) dep[i] = inf;
dep[s] = 0; queue <int> sp; sp.push(s);
while (!sp.empty()) {
int cur = sp.front(); sp.pop();
for (int i=head[cur]; ~i; i=e[i].nxt) {
int to = e[i].to;
if (e[i].flow && dep[to]==inf) {
dep[to] = dep[cur] + 1, sp.push(to);
}
}
}
return dep[t]^inf;
}
int dfs(int cur, int Max) {
if (cur==t) return Max;
int increase = Max;
for (int i=head[cur]; ~i && increase; i=e[i].nxt) {
int to = e[i].to;
if (e[i].flow && dep[to]==dep[cur]+1) {
int res = dfs(to, min(increase, e[i].flow));
if (!res) continue;
e[i].flow -= res, e[i^1].flow += res;
increase -= res;
}
}
return Max-increase;
}
int main() {
while (scanf("%d%d%d", &n, &m, &p) != EOF) {
init(); int siz = n*m;
for (int i=1; i<=n; ++i) {
for (int j=1; j<=m; ++j) {
if (ch[i][j] == '~') continue;
if (ch[i][j] == '*') addEdge(s, id(i,j), 1);
if (ch[i][j] == '.') addEdge(id(i,j), id(i,j)+siz, 1);
if (ch[i][j] == '#') addEdge(id(i,j), t, p);
for (int k=0; k<4; ++k) {
int tox = i+dx[k], toy = j+dy[k];
if (check(tox, toy)) continue;
if (ch[tox][toy] == '*' || ch[tox][toy] == '~') continue;
if (ch[i][j] == '.') addEdge(id(i,j)+siz, id(tox, toy), inf);
else addEdge(id(i,j), id(tox, toy), inf);
}
}
}
int ans = 0;
while (spfa()) ans += dfs(s, inf);
cout << ans << endl;
}
return 0;
}
这题也是个拆点模板。
首先 S 连向出点，T 连向入点，默认已经拆完点。
所以因为要使得成为循环格，所以要进行两两之间点的匹配。
即入度、出度均为 \(1\)。
所以跑二分图匹配最小费用即可。
建边的 value 只需要看当前点实际指的方向是否是枚举的方向。
如果是费用为 \(0\)，否则为 \(1\)。
最后要注意：cnt 要赋成 \(1\)！！11
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e4 + 10;
const int inf = 114514;
int n, m, s, t, cnt = 1, cost;
int dist[N], head[N];
bool vis[N], inq[N];
char Map[20][20]; int To[20][20];
const int dx[] = {0, 0, -1, 1};
const int dy[] = {-1, 1, 0, 0};
struct Edge {
int to, nxt, flow, val;
} e[N];
void addEdge(int u, int v, int f, int w) {
e[++cnt].to = v, e[cnt].nxt = head[u];
e[cnt].flow = f, e[cnt].val = w, head[u] = cnt;
e[++cnt].to = u, e[cnt].nxt = head[v];
e[cnt].flow = 0, e[cnt].val = -w, head[v] = cnt;
return ;
}
bool spfa() {
for (int i=s; i<=t; ++i)
inq[i] = false, dist[i] = inf;
dist[s] = 0, inq[s] = true;
queue <int> sp; sp.push(s);
while (!sp.empty()) {
int cur = sp.front(); sp.pop();
inq[cur] = false;
for (int i=head[cur]; ~i; i=e[i].nxt) {
int to = e[i].to;
if (e[i].flow && dist[to]>dist[cur]+e[i].val) {
dist[to] = dist[cur] + e[i].val;
if (!inq[to]) { inq[to] = true; sp.push(to); }
}
}
}
return dist[t]^inf;
}
int dfs(int cur, int Max) {
vis[cur] = true;
if (cur==t) return Max;
int increase = Max;
for (int i=head[cur]; ~i && increase; i=e[i].nxt) {
int to = e[i].to;
if ((!vis[to]||to==t) && e[i].flow && dist[to]==dist[cur]+e[i].val) {
int res = dfs(to, min(increase, e[i].flow));
if (!res) continue;
e[i].flow -= res, e[i^1].flow += res;
increase -= res, cost += res * e[i].val;
}
}
return Max-increase;
}
int id(int x, int y) { return (x-1)*m+y; }
int main() {
memset(head, -1, sizeof head);
cin >> n >> m; t = 2*n*m + 1;
for (int i=1; i<=n; ++i)
for (int j=1; j<=m; ++j) {
cin >> Map[i][j];
if (Map[i][j]=='L') To[i][j] = 0;
if (Map[i][j]=='R') To[i][j] = 1;
if (Map[i][j]=='U') To[i][j] = 2;
if (Map[i][j]=='D') To[i][j] = 3;
}
for (int i=1; i<=n; ++i) {
for (int j=1; j<=m; ++j) {
for (int k=0; k<4; ++k) {
int tox = i+dx[k], toy = j+dy[k];
if (tox<1) tox = n; if (tox>n) tox = 1;
if (toy<1) toy = m; if (toy>m) toy = 1;
addEdge(id(i,j)+n*m, id(tox, toy), 1, k!=To[i][j]);
}
}
}
for (int i=1; i<=n; ++i)
for (int j=1; j<=m; ++j) {
addEdge(s, id(i,j)+n*m, 1, 0);
addEdge(id(i,j), t, 1, 0);
}
int ans = 0;
while (spfa()) {
for (int i=s; i<=t; ++i) vis[i] = false;
ans += dfs(s, inf);
}
cout << cost << endl;
return 0;
}
