CodeForces 思维题选做

我说是思维题那就肯定不是思维题。

CF1292B Aroma's Search 大意是给一堆有规律的点和起始坐标求最大能经过的点数，反正是一个简单的贪心策略，现在大致证明一下：对于 $\forall 1 \le p \le \operatorname{Limit}$ 都有先往小的方向走再往大的方向走。

首先往小的方向走显然是正确的贪心策略，对于一个坐标集 $x_i=a_x \times x_{i-1} + b_x, \space y_i = a_y \times y_{i-1} + b_y$ 分布巨大多显然是从稠密到稀疏，所以往稠密的部分走没什么毛病。

直到这里还没什么问题，因为如果走到头了，也就是走到 $(x_0,y_0)$ 时间不够了直接停止，那后面的时间呢？为什么回头走还最优啊？

这里直接暴力计算一下， $(x_i,y_i) \rightarrow (x_{i-1},y_{i-1})$ 显然路程为 $x_i+y_i-x_{i-1}-y_{i-1}$ ，因为有单调性。那么就有 $(x_i,y_i) \rightarrow (x_0,y_0)$ 路程为

\sum_{j = 1}^{i} x_{j} + y_{j} - x_{j - 1} - y_{j - 1} = x_{i} + y_{i} - x_{0} - y_{0}

$\sum\limits_{j=1}^{i}x_j+y_j-x_{j-1}-y_{j-1}=x_i+y_i-x_0-y_0$

然后显然有 $(x_{i},y_{i}) \rightarrow (x_{i+1},y_{i+1})=(x_{i+1}+y_{i+1}-x_i-y_i)$ ，把题目中的条件代进去就是
$a_x \times x_i + b_x + a_y \times y_i + b_y-x_i-y_i$
$=(a_x-1)x_i+(a_y-1)y_i+b_x+b_y$

$\because a_x \ge 2, \space a_y \ge 2,\space b_x \ge 0,\space b_y \ge 0\space \therefore (x_{i},y_{i})\rightarrow (x_{i+1},y_{i+1}) \ge x_i+y_i$
同理有 $(x_i,y_i) \rightarrow (x_0,y_0) \le x_i+y_i$

那么显然有 $(x_i,y_i)\rightarrow(x_0,y_0) \le (x_i,y_i)\rightarrow(x_{i+1},y_{i+1})$
然后就出来了走左边更优，你这时走回去也就是两倍的路程而已，先走左边全部的甚至比往右边走一步还要优。所以就是这么简单，我可能写复杂了。

CF1304C Air Conditioner 每一分钟可以让温度 $\pm1$ ，求是否能满足每一时刻正好在某一区间内。
巨大多简单题，每一次求出可能的目标区间然后判断即可，注意求线段交可以用 min, max。

CF1355F Guess Divisors Count 对于一个正整数 $x \space (1 \le x \le 10^9)$ 的因数个数，每一次可以询问一个正整数 $Q \space (1 \le Q \le 10^{18})$ ，交互库会返回 $\gcd(x,Q)$ 。最多可以询问 $22$ 次。最后需要你给出这个数的因数个数，若你给出的 $ans$ 与精确答案 $d$ 满足以下两个条件中的任意一个则视为正确。

$|ans-d| \le 7$
$\dfrac{1}{2} \le \dfrac{ans}{d} \le 2$

求因数个数，根据唯一分解定理，对于正整数 $x$ 有 $ans=\prod\limits_{i=1}^n(p_i+1)$ ，其中 $p_i$ 表示 $x$ 的第 $i$ 个质因子的指数。考虑从这个意义上枚举质因子，最后算乘积就好了。

但是，由于询问次数不能超过 $22$ ，考虑对询问的过程进行优化。

怎么快速得到某个质因子的指数？

朴素做法显然是把每一个可能的指数询问一遍。但是想想就知道，对于一个确定存在的质因子 $P$ ，不如直接用 $P^k$ 去询问 $\gcd$ ：这里的 $k$ 表示第一个满足 $P^k\ge x_{\max}$ 的正整数。同时，这里的 $x_{\max}$ 直接设为上界 $10^9$ 即可，询问 $Q=P^k$ 就可以快速得到它的指数。

怎么快速得到 “ 确定存在的质因子 $P$ ”？

由于允许的询问数量极小，所以考虑批量询问。由于 $Q \space (1 \le Q \le 10^{18})$ ，想到把一串质数压成一个大数进行询问，这样就可以得到存在的质因子：从而可以通过 1 中做法进行处理。

但是即使是这样优化了也跑不进 $22$ 次啊？

还没完呢！由于这道题需要给出模糊答案，我们就可以进行模糊的处理。

先前的过程中，每一次询问完压成的大数的段，我们都可以发现，如果当前剩余的 $\dfrac{x_{\max}}{\prod P}$ 小于这一段后第一个数（不妨设为 $g$ ，当前得到的答案为 $ans$ ）的立方，即 $g^3$ ，此时的因数个数一定会被控制在 $[ans,(3+1)ans]$ ，即 $[ans,4ans]$ 间，因为 $g^3$ 对于答案的贡献为 $4$ ，而最坏情况为当前剩余的数无法产生新的贡献（即为 $1$ ），所以折中输出 $2ans$ ，必定正确。

处理完后，我们发现，还没有用上差不超过 $7$ 的条件。

所以考虑设置一个阈值使得答案可以通过特判得到。

由于上述处理时，立方可以保证 $\dfrac{1}{2}d \le ans \le 2d$ ，得到阈值范围在三次方根内。

充分发扬人类智慧发现这种方法取到 $700$ 左右可以通过，下面分两种情况讨论。

如果当前 $ans=1$ 或 $ans=2$ ：剩下的数最多由三个质数相乘得到，最终答案最少为 $1 \times 1 = 1$ ，最多为 $2 \times 2^3=16$ ，输出 $8$ 可以折中。
如果当前答案不为 $1$ 或 $2$ ：考虑最坏情况，当前答案为 $3$ ，前面取到 $2^2=4$ 。此时剩余的数最多为 $2.5 \times 10^8$ 。发现无法承受立方级别的新增质因子积（由于值域为 $700$ 左右往上），所以最多为平方级别的贡献。此时答案最少为 $ans$ ，最多为 $(1+1)^2ans=4ans$ 。折中为 $2ans$ 即可。