letcode每日一题-不同路径

话不多说，我们上题目:

方法一:动态规划

我们用 f(i, j)表示从左上角走到 (i, j) 的路径数量，其中 i 和 j 的范围分别是 [0, m)和 [0, n)。

由于我们每一步只能从向下或者向右移动一步，因此要想走到 (i, j)，如果向下走一步，那么会从 (i−1,j) 走过来；
如果向右走一步，那么会从 (i, j-1)走过来。因此我们可以写出动态规划转移方程：

f(i, j) = f(i-1, j) + f(i, j-1)

需要注意的是，如果 i=0，那么 f(i-1,j)并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这一项；同理，如果 j=0，那么
f(i,j-1) 并不是一个满足要求的状态，我们需要忽略这一项。

初始条件为 f(0,0)=1，即从左上角走到左上角有一种方法。

最终的答案即为 f(m-1,n-1)。
代码实现如下：

public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] tmpResult=new int[m][n];
        for(int i=0;i<n;i++){
            tmpResult[0][i]=1;
        }
        for(int i=0;i<m;i++){
            tmpResult[i][0]=1;
        }
        for(int i=1;i<m;i++){
            for(int j=1;j<n;j++){
                tmpResult[i][j] = tmpResult[i - 1][j] + tmpResult[i][j - 1];
            }
        }
        return tmpResult[m-1][n-1];
    }

方法二: 递归
递归则是从“Finish”出发，往上走，假设往上的位置是i,往左的位置是j,则有：
1.i>1且j>1 则有两条路线，继续往上找就好
2.i>1 或 j>1 则说明到了边缘，只有一种路线了，返回1就可以
3.i=1且j=1 说明是终点了，无路线了，返回0即可
代码实现如下:

public int uniquePaths(int m, int n) {
        if(m==1 && n==1){
            return 1;
        }
        return bianli(m,n);
    }

    public int  bianli(int m, int n){
        if(m>1 && n>1){
            return bianli(m-1,n)+bianli(m,n-1);
        }else if(n>1 || m>1){
            return 1;
        }else {
            return 0;
        }
    }

虽然递归运算的结果和动态规划的结果相同，但是递归的在执行的时候却超时了，了解了一下，记录下
原因:
大家都知道递归的实现是通过调用函数本身，函数调用的时候，每次调用时要做地址保存，参数传递等，这是通过
一个递归工作栈实现的。具体是每次调用函数本身要保存的内容包括：局部变量、形参、调用函数地址、返回值。
那么，如果递归调用N次，就要分配N局部变量、N形参、N调用函数地址、N返回值，这势必是影响效率的，同时，
这也是内存溢出的原因，因为积累了大量的中间变量无法释放。
1.1用循环效率会比递归效率高吗？

递归与循环是两种不同的解决问题的典型思路。当然也并不是说循环效率就一定比递归高，递归和循环是两码事，
递归带有栈操作，循环则不一定，两个概念不是一个层次，不同场景做不同的尝试。

2.1递归算法：

优点：代码简洁、清晰，并且容易验证正确性。（如果你真的理解了算法的话，否则你更晕）

缺点：它的运行需要较多次数的函数调用，如果调用层数比较深，需要增加额外的堆栈处理（还有可能出现堆栈溢
出的情况），比如参数传递需要压栈等操作，会对执行效率有一定影响。但是，对于某些问题，如果不使用递归，
那将是极端难看的代码。

2.2循环算法：

优点：速度快，结构简单。

缺点：并不能解决所有的问题。有的问题适合使用递归而不是循环。如果使用循环并不困难的话，最好使用循环。

2.3递归算法和循环算法总结：

1） 一般递归调用可以处理的算法，也可以通过循环去解决，常需要额外的低效处理。

2）现在的编译器在优化后，对于多次调用的函数处理会有非常好的效率优化，效率未必低于循环。

3） 递归和循环两者完全可以互换。如果用到递归的地方可以很方便使用循环替换，而不影响程序的阅读，那么替
换成循环往往是好的。（例如：求阶乘的递归实现与循环实现。）