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CF821E题解

posted on 2022-08-26 08:51:54 | under 题解 | source

你在 $(0,0)$。

在 $(x,y)$ 时，每次移动可以到达 $(x+1,y+1),(x+1,y),(x+1,y-1)$。

平面上有 $n$ 条线段，平行于 $x$ 轴，参数为$a_i$，$b_i$，$c_i$，表示在 $(a_i,c_i)$ 到 $(b_i,c_i)$ 的一条线段，保证 $b_i=a_{i+1}$。

要求你一直在线段的下方且在 $x$ 轴上方，即 $a_i\le x\le b_i$ 时， $0\le y\le c_i$。

问：到达 $(k,0)$ 的方案数，方案数对 ${10}^9+7$ 取模。

我们设 $d{p}_{i,j}$ 表示走到 $(i,j)$ 的方案数，$k_i$ 表示 $x$ 坐标为 $i$ 时行动的上界。

按照题意，递推式：

$$d{p}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}d{p}_{i-1,j-1}+d{p}_{i-1,j}& (j=k_i)\\ d{p}_{i-1,j-1}+d{p}_{i-1,j}+d{p}_{i-1,j+1}& (0<j<k_i)\\ d{p}_{i-1,j}+d{p}_{i-1,j+1}& (j=0)\end{array}$$

那么，我们可以构造一个形如 $\left(\begin{array}{ccccccc}1& 1& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& & & \ddots & & & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 1& 1\end{array}\right)$ 的矩阵进行转移。用快速幂优化即可。

对于矩阵快速幂，这是一种优化递推的算法，可以用 $O(\lg n)$ 的时间复杂度进行 $n$ 次递推。

首先，定义矩阵乘法：

对于一个 $n\times k$ 的矩阵 $A$ 和一个 $k\times m$ 的矩阵 $B$ 还有一个矩阵 $C=A\times B$。那么 $C$ 是一个 $n\times m$ 的矩阵，且 $C_{ij}=\sum _{p=1}^k{A}_{i,p}\times B_{p,j}(i=\overline{1,2,\cdots ,n},j=\overline{1,2,\cdots ,m})$。

然后，因为矩阵乘法满足结合律，所以我们有了矩阵快速幂。矩阵快速幂的话就是把快速幂的板子套在矩阵上而已。

代码：

  #include<bits/stdc++.h>
  #define int long long 
  using namespace std;
  const int mod=1e9+7;
  int n,k,a,b,c;
  struct M{
      int a[20][20];
      M operator*(M t){
          M res;
          for(int i=0;i<=15;i++)for(int j=0;j<=15;j++)res.a[i][j]=0;
          for(int i=0;i<=15;i++){
              for(int j=0;j<=15;j++){
                  for(int k=0;k<=15;k++){
                      res.a[i][j]=(res.a[i][j]+a[i][k]*t.a[k][j]%mod)%mod;
                  }
              }
          }
          return res;
      }
      M operator^(int k){
          M res,_=*this;
          for(int i=0;i<=15;i++)for(int j=0;j<=15;j++)res.a[i][j]=(i==j);
          while(k){
              if(k&1)res=res*_;
              _=_*_;
              k>>=1;
          }
          return res;
      }
  }ans,base;
  signed main()
  {
      scanf("%lld%lld",&n,&k);
      for(int j=0;j<=15;j++)for(int k=0;k<=15;k++)ans.a[j][k]=0;
      ans.a[0][0]=1;
      for(int i=1;i<=n;i++){
          scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
          if(b>=k)b=k;
          for(int j=0;j<=15;j++)for(int l=0;l<=15;l++)base.a[j][l]=0;
          for(int j=0;j<=c;j++){
              base.a[j][j]=1;
              if(j<c)base.a[j][j+1]=1;
              if(j)base.a[j][j-1]=1;
          }
          ans=(base^(b-a))*ans;
          if(b>=k)break;
      }
      printf("%lld",ans.a[0][0]);
      return 0;
  }