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矩阵快速幂

posted on 2022-08-16 13:12:44 | under 总结 | source

就是一些转移式，用矩阵快速幂优化一下。

https://vjudge.net/contest/510197#overview

首先，定义矩阵乘法：

对于一个 \(n\times k\) 的矩阵 \(A\) 和一个 \(k\times m\) 的矩阵 \(B\) 还有一个矩阵 \(C=A\times B\)。那么 \(C\) 是一个 \(n\times m\) 的矩阵，且 \(C_{ij}=\sum\limits_{p=1}^kA_{i,p}\times B_{p,j}(i=\overline{1,2,\cdots,n},j=\overline{1,2,\cdots,m})\)。

然后，因为矩阵乘法满足结合律，所以我们有了矩阵快速幂。矩阵快速幂的话就是把快速幂的板子套在矩阵上而已。

A

已知 \(f_1=x,f_2=y,f_i=f_{i-1}+f_{i-2}(i>2)\)，求 \(f_n\)。

• \(n=1\)，\(f_n=x\)。
• \(n=2\)，\(f_n=y\)。
• \(n>2\)。

我们可以尝试推一下转移矩阵 \(base\)：

\[\begin{pmatrix}f_{i-1}+f_{i-2}\\f_{i-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f_{i-1}\\f_{i-2}\end{pmatrix} \]

然后快速幂就好了。

B

有 \(b\) 个格子，每个格子有 \(n\) 个数字，各个格子里面的数字都是相同的. 求从 \(b\) 个格子中各取一个数字, 构成一个 \(b\) 位数, 使得这个 \(b\) 位数模 \(x\) 为 \(k\) 的方案数（同一格子内相同的数字算不同方案）。

我们设 \(dp_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个格子中取数后，模 \(x\) 的结果为 \(j\) 的方案数。

递推式也容易推出来：\(dp_{i,(j\times10+a_k)\bmod x}=\sum dp_{i-1,j}\)。

但是，这样显然会 TLE。所以我们需要一些优化。

对于每一个 \(i=\overline{1,2,\cdots,b}\)，我们可以把 \(dp_{i,j},j=\overline{0,1,\cdots,x-1}\) 当做一个状态。然后根据所给的 \(a\) 进行转移。然后用矩阵快速幂优化即可。

C

你在 \((0,0)\) 。

在 \((x,y)\) 时，每次移动可以到达 \((x+1,y+1),(x+1,y),(x+1,y-1)\) 。

平面上有 \(n\) 条线段，平行于 \(x\) 轴，参数为\(a_i\) , \(b_i\) ,\(c_i\) ，表示在 \((a_i,c_i)\) 到 \((b_i,c_i)\) 的一条线段，保证 \(b_i=a_{i+1}\)。

要求你一直在线段的下方且在 \(x\) 轴上方，即 \(a_i \leq x \leq b_i\) 时， \(0 \leq y \leq c_i\) 。

问 \(:\) 到达 \((k,0)\) 的方案数，方案数对 \(10^9+7\) 取模。

我们设 \(dp_{i,j}\) 表示走到 \((i,j)\) 的方案数，\(k_i\) 表示 x 坐标为 \(i\) 时行动的上界。

按照题意，递推式：

\[dp_{i,j}=\begin{cases}dp_{i-1,j-1}+dp_{i-1,j}&(j=k_i)\\dp_{i-1,j-1}+dp_{i-1,j}+dp_{i-1,j+1}&(0<j<k_i)\\dp_{i-1,j}+dp_{i-1,j+1}&(j=0)\end{cases} \]

那么，我们可以构造一个形如 \(\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots&0&0&0\\1&1&1&\cdots&0&0&0\\\vdots&&&\ddots&&&\vdots\\0&0&0&\cdots&1&1&1\\0&0&0&\cdots&0&1&1\end{pmatrix}\) 的矩阵进行转移。用快速幂优化即可。

D

\[f_i=1(i<m) \]

\[f_i=f_{i-1}+f_{i-m}(m\le i) \]

求 \(f_n\)。

用一个 \(m\times m\) 的矩阵就可以了。

\[\begin{pmatrix}f_{i+1}+f_{i-m+1}\\f_{i}\\f_{i-1}\\\vdots\\f_{i-m+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots&0&0&1\\1&0&0&\cdots&0&0&0\\0&1&0&\cdots&0&0&0\\\vdots&&&\ddots&&&\vdots\\0&0&0&\cdots&0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}f_i\\f_{i-1}\\f_{i-2}\\\vdots\\f_{i-m}\end{pmatrix} \]

E

已知 \(f_1,f_2,f_3\) 和 \(c\)，\(f_i=c^{2i-6}f_{i-1}f_{i-2}f_{i-3}(i>3)\)，求 \(f_n\)。

我们可以发现这里不再是加，所以不能直接矩阵快速幂。但是，我们都知道对于一个大于 1 的数 \(a\) 有 \(\log_ax\cdot y=\log_ax+\log_ay\)，但是，如果用 \(\log\) 的话，你的精度爆上个十几遍是不成问题的。所以我们需要在推一推。

\[f_1=c^0f_3^0f_2^0f_1 \]

\[f_2=c^0f_3^0f_2f_1^0 \]

\[f_3=c^0f_3f_2^0f_1^0 \]

\[f_4=c^2f_3f_2f_1 \]

\[f_5=c^6f_3^2f_2^2f_1 \]

\[f_6=c^{14}f_3^4f_2^3f_1^2 \]

\[f_7=c^{30}f_3^7f_2^6f_1^4 \]

\[f_8=c^{60}f_3^{13}f_2^{11}f_1^7 \]

我们设 \(t_{i,j},(i>3,j=\overline{1,2,3})\) 表示 \(f_i\) 分解过后 \(f_j\) 的系数，\(g_i\) 表示 \(f_i\) 中 \(c\) 的系数。我们发现：

\[t_{i,j}=t_{i-1,j}+t_{i-2,j}+t_{i-3,j} \]

\[g_i=2i-6+g_{i-1}+g_{i-2}+g_{i-3} \]

然后就可以用矩阵快速幂推过去了，但是，如果不取模的话，会炸掉，所以我们需要欧拉降幂：

\[a^b\equiv a^{b\mod\varphi(p)}\pmod{p} \]

因为本题的模数是给质数，所以对指数的模数为其减一。