计数问题选讲做题记录

从

1 + 1

到

\exp (\sum_{i = 1}^{k} \ln (1 + i x))

。

合集 - 2025联合省选集训记录(3)

1.2025省选集训2024-12-24 2.去**的线性代数01-03

3.计数问题选讲做题记录01-06

计数杂题。

calc

考虑先不管数字之间的顺序，最后给答案乘上一个 $n!$ 。

记 $d p_{i, j}$ 表示前 $i$ 个数在 $[1, j]$ 之间选，所产生的总贡献，显然有 $d p_{i, j} = d p_{i, j - 1} + j \times d p_{i - 1, j - 1}$ ，最后的答案是 $d p_{n, k}$ 。

发现 $d p_{n}$ 是一个 $2 n$ 次多项式，拉插一下随便做。

最长上升子序列

好题。

记 $f_{i}$ 表示前 $i$ 个数组成的序列的 LIS 长度。

考虑将 $1 \sim n$ 依次插入序列，即时维护整个 $f$ 数组，可以发现 $f_{i} - f_{i - 1} \leq 1$ ，因此我们可直接维护 $f$ 数组的差分。

考虑插入一个数会对 $f$ 数组产生什么影响，首先是在这个位置的差分数组插入一个 1，再把后面的第一个 1 变成 0（具体可以自己画一画）。

也就是说，我们可以在 $\sum_{i = 1}^{n} i 2^{i} = O (n 2^{n})$ 的时间复杂度内求解，但是你发现这玩意要跑 10+s 啊。

发现这个题一共就这么几种输入，直接打表就可以了。

注意开数组的时候因为 $f_{1}$ 一定等于 1，所以可以只开到 $2^{2} 7$ ，然后再滚动一下空间就没有什么压力了。

Decreasing Subsequence

发现这个 $a_{i} \leq i$ 很不好做，考虑将所有的 $a_{i}$ 减 1，然后让 $i$ 向 $a_{i}^{'}$ 连边，可以发现最终的图是若干条互不相交的链，且每条链都是从最后的节点不断向前连边。

然后考虑一下长度为 $k$ 的下降子序列在图上是个什么样子：

这是 $k = 4$ 的情况，发现就是要求有 $k$ 条依次包含的边。

考虑 $k$ 条边所在的 $k$ 条链，假设一共有 $i + j$ 个点，在中线的左侧 $i$ 个，右侧 $j$ 个。如果左右两边的情况都确定了，那剩下的中间 $k$ 条边的连法是唯一确定的，即一共 ${\binom{i}{k}} {\binom{j}{k}}$ 种方案。其余的 $n + 1 - i - j$ 个点可以随便连边，也就是一共 $\sum_{t} {\binom{n + 1 - i - j}{t}} = b e l l_{n + 1 - i - j}$ 种，因此答案就是 $\sum_{i} \sum_{j} (\binom{n + 1}{i + j}) {\binom{i}{k}} {\binom{j}{k}} b e l l_{n + 1 - i - j}$ 。