矩阵快速幂

就是一些转移式，用矩阵快速幂优化一下。

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首先，定义矩阵乘法：

对于一个 $n\times k$ 的矩阵 $A$ 和一个 $k\times m$ 的矩阵 $B$ 还有一个矩阵 $C=A\times B$。那么 $C$ 是一个 $n\times m$ 的矩阵，且 $C_{ij}=\sum _{p=1}^k{A}_{i,p}\times B_{p,j}(i=\overline{1,2,\cdots ,n},j=\overline{1,2,\cdots ,m})$。

然后，因为矩阵乘法满足结合律，所以我们有了矩阵快速幂。矩阵快速幂的话就是把快速幂的板子套在矩阵上而已。

A

已知 $f_1=x,f_2=y,f_i=f_{i-1}+f_{i-2}(i>2)$，求 $f_n$。

• $n=1$，$f_n=x$。
• $n=2$，$f_n=y$。
• $n>2$。

我们可以尝试推一下转移矩阵 $base$：

$$\left(\begin{array}{c}{f}_{i-1}+f_{i-2}\\ f_{i-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{f}_{i-1}\\ f_{i-2}\end{array}\right)$$

然后快速幂就好了。

B

有 $b$ 个格子，每个格子有 $n$ 个数字，各个格子里面的数字都是相同的. 求从 $b$ 个格子中各取一个数字, 构成一个 $b$ 位数, 使得这个 $b$ 位数模 $x$ 为 $k$ 的方案数（同一格子内相同的数字算不同方案）。

我们设 $d{p}_{i,j}$ 表示前 $i$ 个格子中取数后，模 $x$ 的结果为 $j$ 的方案数。

递推式也容易推出来：$d{p}_{i,(j\times 10+a_k)modx}=\sum d{p}_{i-1,j}$。

但是，这样显然会 TLE。所以我们需要一些优化。

对于每一个 $i=\overline{1,2,\cdots ,b}$，我们可以把 $d{p}_{i,j},j=\overline{0,1,\cdots ,x-1}$ 当做一个状态。然后根据所给的 $a$ 进行转移。然后用矩阵快速幂优化即可。

C

你在 $(0,0)$ 。

在 $(x,y)$ 时，每次移动可以到达 $(x+1,y+1),(x+1,y),(x+1,y-1)$ 。

平面上有 $n$ 条线段，平行于 $x$ 轴，参数为$a_i$ , $b_i$ ,$c_i$ ，表示在 $(a_i,c_i)$ 到 $(b_i,c_i)$ 的一条线段，保证 $b_i=a_{i+1}$。

要求你一直在线段的下方且在 $x$ 轴上方，即 $a_i\le x\le b_i$ 时， $0\le y\le c_i$ 。

问 $:$ 到达 $(k,0)$ 的方案数，方案数对 ${10}^9+7$ 取模。

我们设 $d{p}_{i,j}$ 表示走到 $(i,j)$ 的方案数，$k_i$ 表示 x 坐标为 $i$ 时行动的上界。

按照题意，递推式：

$$d{p}_{i,j}=\{\begin{array}{ll}d{p}_{i-1,j-1}+d{p}_{i-1,j}& (j=k_i)\\ d{p}_{i-1,j-1}+d{p}_{i-1,j}+d{p}_{i-1,j+1}& (0<j<k_i)\\ d{p}_{i-1,j}+d{p}_{i-1,j+1}& (j=0)\end{array}$$

那么，我们可以构造一个形如 $\left(\begin{array}{ccccccc}1& 1& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 1& 1& 1& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& & & \ddots & & & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 1& 1\end{array}\right)$ 的矩阵进行转移。用快速幂优化即可。

D

$$f_i=1(i<m)$$

$$f_i=f_{i-1}+f_{i-m}(m\le i)$$

求 $f_n$。

用一个 $m\times m$ 的矩阵就可以了。

$$\left(\begin{array}{c}{f}_{i+1}+f_{i-m+1}\\ f_i\\ f_{i-1}\\ ⋮\\ f_{i-m+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccccc}1& 0& 0& \cdots & 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0& 0& 0\\ ⋮& & & \ddots & & & ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & 0& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{f}_i\\ f_{i-1}\\ f_{i-2}\\ ⋮\\ f_{i-m}\end{array}\right)$$

E

已知 $f_1,f_2,f_3$ 和 $c$，$f_i=c^{2i-6}{f}_{i-1}{f}_{i-2}{f}_{i-3}(i>3)$，求 $f_n$。

我们可以发现这里不再是加，所以不能直接矩阵快速幂。但是，我们都知道对于一个大于 1 的数 $a$ 有 ${\log }_{a}x\cdot y={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$，但是，如果用 $\log$ 的话，你的精度爆上个十几遍是不成问题的。所以我们需要在推一推。

$$f_1=c^0{f}_3^0{f}_2^0{f}_1$$

$$f_2=c^0{f}_3^0{f}_2{f}_1^0$$

$$f_3=c^0{f}_3{f}_2^0{f}_1^0$$

$$f_4=c^2{f}_3{f}_2{f}_1$$

$$f_5=c^6{f}_3^2{f}_2^2{f}_1$$

$$f_6=c^{14}{f}_3^4{f}_2^3{f}_1^2$$

$$f_7=c^{30}{f}_3^7{f}_2^6{f}_1^4$$

$$f_8=c^{60}{f}_3^{13}{f}_2^{11}{f}_1^7$$

我们设 $t_{i,j},(i>3,j=\overline{1,2,3})$ 表示 $f_i$ 分解过后 $f_j$ 的系数，$g_i$ 表示 $f_i$ 中 $c$ 的系数。我们发现：

$$t_{i,j}=t_{i-1,j}+t_{i-2,j}+t_{i-3,j}$$

$$g_i=2i-6+g_{i-1}+g_{i-2}+g_{i-3}$$

然后就可以用矩阵快速幂推过去了，但是，如果不取模的话，会炸掉，所以我们需要欧拉降幂：

$$a^b\equiv a^{b\mathrm{mod}\phi (p)}(\mathrm{mod}p)$$

因为本题的模数是给质数，所以对指数的模数为其减一。