P11233 [CSP-S 2024] 染色 题解

我们设 $d{p}_{x,y}$ 表示上一个红色是 $x$，上一个蓝色是 $y$ 时最大的价值。

容易发现转移为 $d{p}_{a_i,x}=\underset{j=1}{\overset{k}{max}}d{p}_{k,x}+[k=a_i]a_i,d{p}_{x,a_i}=\underset{j=1}{\overset{k}{max}}d{p}_{x,k}+[k=a_i]a_i$。其中 $k$ 是值域。

容易发现，转移完后的 $dp$ 数组中有值的位置是一个十字架（如下图）。

我们考虑直接维护十字架上的值并对其进行转移。

考虑若 $a_i=a_{i-1}$，相当于全局加上 $a_i$，打一个标记即可。

若 $a_i\ne a_{i-1}$，记 $las=a_i,f_{i,x}=d{p}_{a_i,x},g_{i,x}=d{p}_{x,a_i}$。

容易发现转移：

$$\begin{array}{ccc}{f}_{i,x}& =& f_{i-1,x}\\ f_{i,las}& =& max(g_{i-1,a_i}+a_i,maxg)\\ g_{i,x}& =& g_{i-1,x}\\ g_{i,las}& =& max(f_{i-1,a_i}+a_i,maxf)\\ f_{i,a_i}=g_{i,a_i}& =& max(f_{i,a_i},g_{i,a_i})\end{array}$$

直接维护即可，复杂度 $O(T(n+V))$