关键概念与性质：
距离函数（distance function），我们说一个距离函数是有效的当且仅当满足有效条件（valid function）
（1）d（t）= 0；
（2）d（i）<= d(j)+1(如果弧rij在残余网络G（x）中)；
性质1：
如果距离标号是有效的，那么d（i）便是残余网络中从点i到汇点的距离的下限；
证明：
令任意的从i结点到汇点t长度为k的路径，设为i= i1-i2-i3...ik+1=t d(i(k)) <= d(i(k+1))+1= d(t)+1=1 d(i(k-1)) <= d(i(k))+1=2 d(i(k-2)) <= d(i(k-1))+1=3 : : d(i(1)) <= d(i(2))+1= k 由此可见，d(i)是i到t的距离下限
性质2：
允许弧（边）：如果对于边rij>0,且d(i)= d(j)+1，那么称为允许边
允许路：一条从源点到汇点的且有允许弧组成的路径
允许路是从源点到汇点的最短增广路径。
证明：
（1）因为rij>0所以必然是一条增广路
（2）假设路径p是一条允许路包含k条弧，那么由d(i) = d(j)+1 可知，d（s）= k；
又因为d（s）是点s到汇点的距离下限，所以距离下限为k，所以p便是一条最短路。
性质3：
在sap算法中距离标号始终是正确，有效的。并且每次的冲标号都会是距离标号严格递增
证明：略；
伪代码：
//algorithm shortest augment path; void sap() { x =0; obtain the exact distance labels d(i); i = s; while (d(s)<n) { if (i has an admissible arc) { advance(i); if (i == t) { augment; i = s; } } else retreat(i); } } //procedure advance(i); void advance(i) { let(i,j)be an admissible arc in A(t); pre(j) = i; i = j; } //procedure retreat void retreat() { d(i) = min(d(j)+1):rij>0; if (i != s) i = pre(i); }
代码模板：
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdlib> usingnamespace std; constint Max =225; constint oo =210000000; int n,m,c[Max][Max],r[Max][Max],c1[Max][Max],source,sink； //c1是c的反向网络，用于dis数组的初始化 int dis[Max]; void initialize()// 初始化dis数组 { int q[Max],head =0, tail =0;//BFS队列 memset(dis,0,sizeof(dis)); q[++head] = sink; while(tail < head) { int u = q[++tail], v; for(v =0; v <= sink; v++) { if(!dis[v] && c1[u][v] >0) { dis[v] = dis[u] +1; q[++head] = v; } } } } int maxflow_sap() { initialize(); int top = source, pre[Max], flow =0, i, j, k, low[Max]; // top是当前增广路中最前面一个点。 memset(low,0,sizeof(low));//low数组用于保存路径中的最小容量 while(dis[source] < n) { bool flag =false; low[source] = oo; for(i =0; i <= sink; i++)//找允许弧，根据允许弧的定义 { if(r[top][i] >0&& dis[top] == dis[i] +1) { flag =true; break; } } if(flag)// 如果找到允许弧 { low[i] = r[top][i]; if(low[i] > low[top]) low[i] = low[top];//更新low pre[i] = top; top = i; if(top == sink)// 如果找到一条增广路了 { flow += low[sink]; j = top; while(j != source)// 路径回溯更新残留网络 { k = pre[j]; r[k][j] -= low[sink]; r[j][k] += low[sink]; j = k; } top = source;//从头开始再找最短路 memset(low,0,sizeof(low)); } } else// 如果没有允许弧 { int mindis =10000000; for(j =0; j <= sink; j++)//找和top相邻dis最小的点 { if(r[top][j] >0&& mindis > dis[j] +1) mindis = dis[j] +1; } dis[top] = mindis;//更新top的距离值 if(top != source) top = pre[top];// 回溯找另外的路 } } return(flow); }
运用gap优化：
即当标号中出现了不连续标号的情况时，即可以证明已经不存在新的增广流，此时的流量即为最大流。
简单证明下：
假设不存在标号为k的结点，那么这时候可以将所有的结点分成两部分，一部分为d（i）>k,另一部分为d（i）<k
如此分成两份，因为性质2可知，允许路为最短的增广路，又因为不存在从>k部分到<k部分的增广流，那么有最
大流最小割定理可知此时便是最大流。
优化代码：要注意在标号的时候不能直接把所有的初始为0，而应该为-1，否则会在gap优化的时候出现问题，不满足递增的性质，切记！
#include <iostream> #include <cstring> #include <cstdlib> usingnamespace std; constint Max =225; constint oo =210000000; int n,m,c[Max][Max],r[Max][Max],c1[Max][Max],source,sink; int gap[Max];//用gap来记录当前标号为i的个数，用于gap优化； //c1是c的反向网络，用于dis数组的初始化 int dis[Max]; void initialize()// 初始化dis数组 { memset(gap,0,sizeof(gap)); int q[Max],head =0, tail =0;//BFS队列 memset(dis,0xff,sizeof(dis)); q[++head] = sink; dis[sink] =0; gap[0]++; while(tail < head) { int u = q[++tail], v; for(v =0; v <= sink; v++) { if(!dis[v] && c1[u][v] >0) { dis[v] = dis[u] +1; gap[dis[v]]++; q[++head] = v; } } } } int maxflow_sap() { initialize(); int top = source, pre[Max], flow =0, i, j, k, low[Max]; // top是当前增广路中最前面一个点。 memset(low,0,sizeof(low));//low数组用于保存路径中的最小容量 while(dis[source] < n) { bool flag =false; low[source] = oo; for(i =0; i <= sink; i++)//找允许弧，根据允许弧的定义 { if(r[top][i] >0&& dis[top] == dis[i] +1&&dis[i]>=0) { flag =true; break; } } if(flag)// 如果找到允许弧 { low[i] = r[top][i]; if(low[i] > low[top]) low[i] = low[top];//更新low pre[i] = top; top = i; if(top == sink)// 如果找到一条增广路了 { flow += low[sink]; j = top; while(j != source)// 路径回溯更新残留网络 { k = pre[j]; r[k][j] -= low[sink]; r[j][k] += low[sink]; j = k; } top = source;//从头开始再找最短路 memset(low,0,sizeof(low)); } } else// 如果没有允许弧 { int mindis =10000000; for(j =0; j <= sink; j++)//找和top相邻dis最小的点 { if(r[top][j] >0&& mindis > dis[j] +1&&dis[j]>=0) mindis = dis[j] +1; } gap[dis[top]]--; if (gap[dis[top]] ==0) break; gap[mindis]++; dis[top] = mindis;//更新top的距离值 if(top != source) top = pre[top];// 回溯找另外的路 } } return(flow); }
注意：在运用sap的时候必须要时刻的保证标号的两个性质，因此，不能再初始标号的时候将全部初始为0层，因为有些点是不具有层数的，或者说是层数是无穷大的，不可达的。
网上找的比较清晰地模板sap，有各种优化：
#include <stdio.h> #include <string.h> #define INF 2100000000 #define MAXN 301 int SAP(int map[][MAXN],int v_count,int s,int t) //邻接矩阵，节点总数，始点，汇点 { int i; int cur_flow,max_flow,cur,min_label,temp; //当前流，最大流，当前节点，最小标号，临时变量 char flag; //标志当前是否有可行流 int cur_arc[MAXN],label[MAXN],neck[MAXN]; //当前弧，标号，瓶颈边的入点（姑且这么叫吧） int label_count[MAXN],back_up[MAXN],pre[MAXN]; //标号为i节点的数量，cur_flow的纪录,当前流路径中前驱 //初始化 memset(label,0,MAXN*sizeof(int)); memset(label_count,0,MAXN*sizeof(int)); memset(cur_arc,0,MAXN*sizeof(int)); label_count[0]=v_count; //全部初始化为距离为0 neck[s]=s; max_flow=0; cur=s; cur_flow=INF; //循环代替递归 while(label[s]<v_count) { back_up[cur]=cur_flow; flag=0; //选择允许路径（此处还可用邻接表优化） for(i=cur_arc[cur];i<v_count;i++) //当前弧优化 { if(map[cur][i]!=0&&label[cur]==label[i]+1) //找到允许路径 { flag=1; cur_arc[cur]=i; //更新当前弧 if(map[cur][i]<cur_flow) //更新当前流 { cur_flow=map[cur][i]; neck[i]=cur; //瓶颈为当前节点 } else { neck[i]=neck[cur]; //瓶颈相对前驱节点不变 } pre[i]=cur; //记录前驱 cur=i; if(i==t) //找到可行流 { max_flow+=cur_flow; //更新最大流 //修改残量网络 while(cur!=s) { if(map[pre[cur]][cur]!=INF)map[pre[cur]][cur]-=cur_flow; back_up[cur] -= cur_flow; if(map[cur][pre[cur]]!=INF)map[cur][pre[cur]]+=cur_flow; cur=pre[cur]; } //优化，瓶颈之后的节点出栈 cur=neck[t]; cur_flow=back_up[cur]; } break; } } if(flag)continue; min_label=v_count-1; //初始化min_label为节点总数-1 //找到相邻的标号最小的节点 for(i=0;i<v_count;i++) { if(map[cur][i]!=0&&label[i]<min_label) { min_label=label[i]; temp=i; } } cur_arc[cur]=temp; //记录当前弧，下次从提供最小标号的节点开始搜索 label_count[label[cur]]--; //修改标号纪录 if(label_count[label[cur]]==0)break; //GAP优化 label[cur]=min_label+1; //修改当前节点标号 label_count[label[cur]]++; //修改标号记录 if(cur!=s) { //从栈中弹出一个节点 cur=pre[cur]; cur_flow=back_up[cur]; } } return(max_flow); }
