欧拉函数

一。在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的正整数（包括1）的数目。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

       φ函数的值 　通式：φ(x)=x (1-1/p1) (1-1/p2) (1-1/p3) (1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的正整数。

              例如φ(12)=4，因为12=2*2*3那么φ(12）=12*(1-1/2)*(1-1/3)=4          而φ(1)=1（唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。 

              (注意：每种质因数只一个）

     若n本身就是质数p的k次幂，则φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1) p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质，以p为一个轮回共有n/p个。如8是2的3次幂，则φ(8)=2^3 - 2^2=4

       欧拉函数是积性函数——若m,n互质，则φ(m*n)=φ(m)φ(n)。  如φ(12)=φ(3*4)=φ(3)φ(4)=2*2=4

       对于质数(素数)p，φ(p) = p - 1    若n是正整数则φ(p^n) =p^n*(1-1/p ）

       特殊性质：当n为奇数时，φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。

       设a为N的质因数，若(N % a == 0 && (N / a) % a == 0) 则有φ(N)=φ(N / a) * a。如2是8的质因数，且满足条件φ(8)=φ(4)*2=4

       设a为N的质因数，若(N % a == 0 && (N / a) % a != 0) 则有φ(N) = φ(N / a) * (a - 1)。如2是10的质因数，且满足条件φ(10)=φ(5)*1=4

二。与欧拉定理、费马小定理的关系

欧拉定理 ：对任意两个互质的正整数a, b, （b>=2）有a^φ(b)≡1(mod b)    如a=3，b=5 ，3^φ(5)%5=3^4%5=81%5=1

费马小定理：当b是质数p时，此式则为：a^(p-1)≡1(mod b)

三。编程实现

给定正整数n，单独求n的欧拉数

#include <iostream>
       using namespace std;
       int eular(int n)
       {
             int ret=1,i;
             for(i=2;i*i<=n;i++)
            if(n%i==0)
            {
                    n=n/i; ret=ret*(i-1);
                   while(n%2==0)
                   {
                         n=n/i;
                         ret=ret*i;
                   }
             }
            if(n>1)
                  ret=ret*(n-1);
            return ret;
        }
        int main()
        {
             int n;
             while(cin>>n)
                   cout<<eular(n)<<endl;
             return 0;
        }

给定正整数n，求出小于n的每一个数的欧拉数的个数

#include <iostream>
      #include <string.h>
      using namespace std;
      int phi[1000];
      int getphi(int n)
      {
          int i,j;
          memset(phi,0,sizeof(phi));
          phi[1]=1;
          for(i=2;i<n;i++)
             if(!phi[i])
             {
                 for(j=i;j<n;j=j+i)
                {
                     if(!phi[j])
                     phi[j]=j;
                     phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
                }
            }
      }
      int main()
      {
          int n;
          while(cin>>n)
          {
              getphi(n);
              for(int i=1;i<n;i++)
                  cout<<phi[i]<<" ";
              cout<<endl;
          }
          return 0;
      }

四。证明过程

 

要计算一个正整数n的欧拉函数的方法如下：
1. 将n表示成素数的乘积: n = p1 ^ k1 * p2 ^ k2 * ... * pn ^ kn（这里p1, p2, ..., pn是素数）
2. PHI(n) = (p1 ^ k1 - p1 ^ (k1 - 1)) * (p2 ^ k2 - p2 ^ (k2 - 1)) * ... *(pn ^ kn - pn ^ (kn - 1)) 
              = Mult { pi ^ ki - pi ^ (ki -1) }  在每个括号里提出公因子pn ^ kn

就得到φ(x)=x (1-1/p1) (1-1/p2) (1-1/p3) (1-1/p4)…..(1-1/pn),

证明过程如下：
1. 容易想到：当n为素数时，PHI(n) = n - 1。因为每个比n小的正整数都和n互素。当n为素数p的k次方时，PHI(n) = p ^ k - p ^ (k - 1)。因为在1到n之间的正整数只有p的倍数和n不互素，这样的数有(p ^ k / p)个。
2. 如果m和n互素，即GCD(m, n) = 1，那么PHI(m * n) = PHI(m) * PHI(n)。用中国剩余定理可以证明，证明的思路是建立这样一种一一对应的关系(a, b) <-> x，其中正整数a小于m并且gcd(a, m) = 1，正整数b小于n并且gcd(b, n) = 1，正整数x小于m*n并且gcd(m*n, x) = 1。证明过程如下：
    1)根据中国剩余定理，如果m和n互素，那么关于未知量x的方程组x % m = a, x % n = b(0 <= a < m, 0 <= b < n)，当0 <= x < m * n时存在并且仅存在一个解。容易证明，如果两个这样的方程组有相同的m, n但是a, b不同，那么他们的解x一定不同。
    2)首先用反正法证明：gcd(m, a) = 1且gcd(n, b) = 1是gcd(m*n, x) = 1的必要条件：假设gcd(a, m) = k > 1，由此可得：a = a' * k; m = m' * k => x = k' * m + a = k' * k * m' + k * a' = k * (k' * m' + a'); 所以gcd(x, m) = k > 1。同理可证，如果gcd(b, n) > 1， 那么gcd(x, n) > 1。所以x和m * n互素的必要条件是a和m互诉且b和n互素。
    3)接下来我们证明充分性：由x % m = a 可以得到x = k * m + a；由欧几里德算法求最大公约数的过程（就不证明了，呵呵，还得想）可以知道gcd(x, m) = gcd(m, a) = 1；同理可得，如果gcd(n, b) = 1那么gcd(x, n) = 1。接下来很容易得到：gcd(m*n, x) = 1。从而证明了充分性。
    4)上面三步的结论表明，数对(a, b)是可以和x建立起一一对应的关系的，所以有多少个不同的(a, b)，就有多少个不同的x。
3.将n分解成素数乘积后，显然对于任意的i, j(i != j)都满足 pi ^ ki和pj ^ kj是互素的，于是可以的到上面的公式。

五。补充判别两个数是互质的方法

（1）两个不同的质数一定是互质数。 

（2）一个是质数，另一个不为它的倍数，这两个数为互质数。例如，3与10、5与 26。

（3）1不是质数也不是合数，但它和任何一个自然数在一起都是互质数。

（4）相邻的两个自然数是互质数。如 15与 16。

（5）相邻的两个奇数是互质数。如 49与 51。

（6）较大的数是质数的两个数是互质数。如97与88。

（7）两个数都是合数（二数差又较大），较小数所有的质因数，都不是较大数的约数，这两个数是互质数。

　　 如357与715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的约数，这两个数为互质数。

（8）两个数都是合数（二数差较小），这两个数的差的所有质因数都不是较小数的约数，这两个数是互质数。

         如85和78。85－78=7，7不是78的约数，这两个数是互质数。

（9）两个数都是合数，较大数除以较小数的余数（不为“0”且大于“ 1”）的所有质因数，都不是较小数的约数，这两个数是互质数。

          如 462与221       462÷221=2余20，20=2×2×5。2、5都不是221的约数，这两个数是互质数。

（10）减除法。

          如255与182。255－182=73，观察知 73182。

　　  182－（73×2）=36，显然 3673。

　　  73－（36×2）=1，

　　 （255，182）=1。

　　  所以这两个数是互质数。

三个或三个以上自然数互质有两种不同的情况：一种是这些成互质数的自然数是两两互质的。如2、3、5。另一种不是两两互质的。如6、8、9。