模拟赛T5 ： domino ——深搜+剪枝+位运算优化
这道题涉及的知识点有点多。。。
所以还是比较有意思的。
domino
描述
迈克生日那天收到一张 N*N 的表格(1 ≤ N ≤ 2000)，每个格子里有一个非
负整数（整数范围 0~1000），迈克不喜欢数值太大，他手上有 K 块日字形多米
诺骨牌（1 ≤ K ≤ 8），可以完美覆盖两个相邻格子（上下左右均可）**问迈克把 K 块骨牌全部放在表格上，使得表格可见整数和最小。
输入
第一行两个数 N，K 用空格隔开 下面 N 行 N 列为该初始表格。输出
被 K 块骨牌挡住之后剩余数字之和。分数分布
对于 70%数据，K≤5。
样例输入 1
3 1
2 7 6
9 5 1
4 3 8样例输出 1
31样例输入 2
4 2
1 2 4 0
4 0 5 4
0 3 5 1
1 0 4 1
样例输出 2
17
解释下题意，在棋盘上放上k个1*2的骨牌,使覆盖到的格子上的值得和最大。
乍一看，貌似可以贪心，枚举所有骨牌，选择前k大的骨牌。（接下来骨牌大小的定义都是它覆盖的格子的和的大小）。但第二个样例却过不到。
原因很简单，当我们选择了一个骨牌时，会导致顶多7个骨牌不能被选择，如图所示：
(这个骨牌自身也算一个)
如果我们选取的前k大个骨牌在这7个骨牌之中，则不合法，所以导致了错误。
所以我们可以将这7个骨牌全都加入在我们考虑选择的骨牌之中。于是我们考虑的骨牌最多便有了\(50\)个\((7*(8-1)+1)\)
考虑在这\(50\)个骨牌中间深搜，选择其中的\(k\)个，并且保证这些骨牌不会相互覆盖即可。
于是我们就将问题转换成了从50个物品中选出K个，使和最大，同时选择一个物品会导致多个物品不能选择的问题。这明显可以使用状压DP暴力解决。
但是直接暴力会超时，时间复杂度为\(2^{50}\)，空间复杂度也实在难以接受。
可以先看看我暴力的代码。
//感觉很好理解所以没怎么打注释
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 2010
int A[N][N],n,k,P,siz;
bool mark[51][51];
struct node {
LL x,y,sum,dir;//使用node来存储每个骨牌
node() {}; //x,y表示这个骨牌左上的坐标
node(LL X,LL Y,LL D) {
x=X;y=Y;
sum=A[x][y]+A[x+D][y+1-D];//使用dir变量来表示可能的
dir=D; //两种骨牌
}
};
vector<node> L;
vector< pair<LL,LL> > getFuck(node F) {//返回一个vector生成
vector<pair<LL,LL> > D; //一个骨牌的两个坐标
D.push_back( make_pair(F.x,F.y));
D.push_back( make_pair(F.x+F.dir,F.y+1-F.dir));
return D;
}
bool Fuck(node A,node B) {
vector< pair<LL,LL> > X=getFuck(A);
vector< pair<LL,LL> > Y=getFuck(B);
for(LL i=0;i<X.size();i++)//判断两个骨牌的4个覆盖区域的
for(LL j=0;j<Y.size();j++)//坐标是否重复
if(X[i]==Y[j])
return 1;
return 0;
}
bool cmp(node A,node B) {
return A.sum>B.sum;
}
int ans,sum;
bool vis[60];
void dfs(int pos,int haveC) {//暴力深搜，枚举选和不选当前骨牌的情况
ans=max(ans,sum);
if(pos==siz) return ;
dfs(pos+1,haveC);
if(haveC==k) return ;
for(int i=0;i<pos;i++) if(vis[i] && mark[pos][i]) return ;
vis[pos]=1;
sum+=L[pos].sum;
vis[pos]=1;
dfs(pos+1,haveC+1);
vis[pos]=0;
sum-=L[pos].sum;
}
int main() {//基操
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
cin>>A[i][j],P+=A[i][j];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++) {
if(i<n) L.push_back(node(i,j,1));
if(j<n) L.push_back(node(i,j,0));
}
sort(L.begin(),L.end(),cmp);
//for(int i=0;i<L.size();i++) cout<<L[i].sum<<' ';
//cout<<endl;
int Sz=L.size();
siz=min(Sz,50);
for(int i=0;i<siz;i++)
for(int j=0;j<siz;j++)
if(i!=j && Fuck(L[i],L[j]))
mark[i][j]=1;
dfs(0,0);
cout<<P-ans;
return 0;
正解用的是双向DFS，但我剪了下枝，发现用位运算也可以卡过去。
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 2010
#define LL long long
LL A[N][N],n,k,P,siz,lol;
LL mark[51];
struct node {
LL x,y,sum,dir;
node() {};
node(LL X,LL Y,LL D) {
x=X;y=Y;
sum=A[x][y]+A[x+D][y+1-D];
dir=D;
}
};
vector<node> L;
vector< pair<LL,LL> > getFuck(node F) {
vector<pair<LL,LL> > D;
D.push_back( make_pair(F.x,F.y));
D.push_back( make_pair(F.x+F.dir,F.y+1-F.dir));
return D;
}
bool Fuck(node A,node B) {
vector< pair<LL,LL> > X=getFuck(A);
vector< pair<LL,LL> > Y=getFuck(B);
for(LL i=0;i<X.size();i++)
for(LL j=0;j<Y.size();j++)
if(X[i]==Y[j])
return 1;
return 0;
}
bool cmp(node A,node B) {
return A.sum>B.sum;
}
LL ans,sum;
void dfs(LL pos,LL haveC,LL cover) {
ans=max(ans,sum);
if(pos==siz) return ;
if(haveC==k) return ;
dfs(pos+1,haveC,cover);
if(!(cover & (1ll<<pos))) {
sum+=L[pos].sum;
dfs(pos+1,haveC+1,cover|mark[pos]);
sum-=L[pos].sum;
}
}
int main() {
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
cin>>A[i][j],P+=A[i][j];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++) {
if(i<n) L.push_back(node(i,j,1));
if(j<n) L.push_back(node(i,j,0));
}
sort(L.begin(),L.end(),cmp);
lol=L[0].sum;
//for(int i=0;i<L.size();i++) cout<<L[i].sum<<' ';
//cout<<endl;
LL Sz=L.size();
siz=min(Sz,(LL)50);
for(int i=0;i<siz;i++)
for(int j=0;j<siz;j++)
if(i!=j && Fuck(L[i],L[j]))
mark[i]|=(1ll<<j);
dfs(0,0,0);
cout<<P-ans;
return 0;
}
说下我在做这题时的细节吧
1.所有变量尽量都要开long long，因为答案最终有可能爆int
2.第一部分不一定要占一半，开1<<20不会爆空间。
3.位运算要使用\(1ll<<50\).
这里附上双向DFS的代码，有兴趣的同学可以康康，注释写得挺详细的。
(估计也没人看吧hhh)
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define N 2010
#define LL long long
LL A[N][N],n,k,P,siz,asiz,bsiz;
LL mark[54];
LL FFuck[1<<21][9],ans;
struct node {
LL x,y,sum,dir;
node() {};
node(LL X,LL Y,LL D) {
x=X;y=Y;
sum=A[x][y]+A[x+D][y+1-D];
dir=D;
}
};
vector<node> L;
vector< pair<LL,LL> > getFuck(node F) {
vector<pair<LL,LL> > D;
D.push_back( make_pair(F.x,F.y));
D.push_back( make_pair(F.x+F.dir,F.y+1-F.dir));
return D;
}
bool Fuck(node A,node B) {
vector< pair<LL,LL> > X=getFuck(A);
vector< pair<LL,LL> > Y=getFuck(B);
for(LL i=0;i<X.size();i++)
for(LL j=0;j<Y.size();j++)
if(X[i]==Y[j])
return 1;
return 0;
}
bool cmp(node A,node B) {
return A.sum>B.sum;
}
//дµÃÕæ³ó¹þ¹þ¹þ
void dfs1(LL pos,LL haveC,LL state,LL cover,LL sum) {
if(haveC>k) return ;
if(pos==asiz) {
FFuck[state][haveC]=max(FFuck[state][haveC],sum);
return ;
}
dfs1(pos+1,haveC,state,cover,sum);
if(!(cover & (1ll<<pos))) {//
LL mss=L[pos].sum;
dfs1(pos+1,haveC+1,state|(1ll<<pos),cover|mark[pos],sum+mss);
}
}
void dfs2(LL pos,LL haveC,LL state,unsigned LL cover,LL sum) {
if(haveC>k) return ;
if(pos==siz) {
ans=max(ans,sum+FFuck[(~cover)&((1ll<<asiz)-1)][k-haveC]);
return ;
}
dfs2(pos+1,haveC,state,cover,sum);
if(!(cover & (1ll<<pos))) {
LL mss=L[pos].sum;
dfs2(pos+1,haveC+1,state|(1ll<<pos),cover|mark[pos],sum+mss);
}
}
int main() {
cin>>n>>k;
if(n==1) {cout<<0; return 0;}
LL MM=(k-1)*7+1;
for(LL i=1;i<=n;i++)
for(LL j=1;j<=n;j++)
cin>>A[i][j],P+=A[i][j];
for(LL i=1;i<=n;i++)
for(LL j=1;j<=n;j++) {
if(i<n) L.push_back(node(i,j,1));
if(j<n) L.push_back(node(i,j,0));
}
sort(L.begin(),L.end(),cmp);
//for(LL i=0;i<L.size();i++) cout<<L[i].sum<<' ';
//cout<<endl;
LL Sz=L.size();
siz=min(Sz,MM);
asiz=min(siz/2,(LL)20);
for(LL i=0;i<siz;i++)
for(LL j=0;j<siz;j++)
if(i!=j && Fuck(L[i],L[j]))
mark[i]|=(1ll<<j);
dfs1(0,0,0,0,0);
for(LL c=0;c<=k;c++) {
for(LL i=1;i<(1ll<<asiz);i++) {
LL j=i;
while(j) {
LL t=j&-j;
FFuck[i][c]=max(FFuck[i-t][c],FFuck[i][c]);
j-=t;
}
}
}
dfs2(asiz,0,0,0,0);
cout<<P-ans;
return 0;
}
