[CF2044F]Easy Demon Problem 解题思路

CF2044F Easy Demon Problem

题目大意

给定两个长度为 \(n,m\) 的数列 \(a_i\) ，\(b_j\) ，并且依据该数列构造一个矩阵 \(M_{n,m}\)，使得 \(M_{i,j}=a_i \times b_j\) 。

再给出 \(q\) 个查询，对于每个 \(x_i\)，查找是否存在一对 \(i,j\) 使得该矩阵删去第 \(i\) 行和第 \(j\) 列，使得矩阵剩下所有数之和为 \(x_i\)。

每一组询问是独立的。

思路

我们发现，矩阵之和可以写为

\[\sum_{i=0}^{n}{\sum_{j=0}^{m}{a_i \times b_j} } \]

可以变形为

\[\sum_{i=0}^{n}{a_i} \times \sum_{j=0}^{m}{b_i} \]

上式等价于

\[sum(a) \times sum(b) \]

我们神奇的发现，当删去这个矩阵的第 \(i\) 行第 \(j\) 列的时候，矩阵里面的所有元素之和就是：

\[[sum(a)-a_i]\times[sum(b)-b_j] \]

我们的目的就转换为求是否有一对 \(a_i\) 和 \(b_j\) 使得 \([sum(a)-a_i]\times[sum(b)-b_j]=x\) 。

重点：
我们分别记录每一个数组 \(a,b\) ，并分别求出他们的和。对于每一个询问 \(x\) ，分解 \(x\) 的因数，查找每一对因数 \(l,r\) ，假设 \(l=sum(a)-a_i,r=sum(j)-b_j\) ，则问题又被转换为求是否存在 \(a_i=sum(a)-l,b_j=sum(j)-r\) 。这里考虑数据范围，开个大数组记录即可。

注意数存在负数需要处理，时间复杂度为 \(O(q)\) (有个 \(\sqrt {2⋅10^5}\) 的常数)可过。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
bool ina[500010],inb[500010];
int la[300010],lb[300010];
ll sum1=0,sum2=0;
bool checkin(bool f,ll num){
    if(num>250000||num<-250000)return false;
    if(!f)return ina[num+250000];
    return inb[num+250000];
}
bool checkit(ll a,ll b,int f){
    int fl1=1,fl2=1;
    if(f)fl1=-1;
    if(checkin(0,sum1-a*fl1)&&checkin(1,sum2-b*fl2))return true;
    if(checkin(1,sum2-a*fl1)&&checkin(0,sum1-b*fl2))return true;

    fl1=-fl1,fl2=-fl2;

    if(checkin(0,sum1-a*fl1)&&checkin(1,sum2-b*fl2))return true;
    if(checkin(1,sum2-a*fl1)&&checkin(0,sum1-b*fl2))return true;
    return false;

}
int main()
{
    //freopen("read.in","r",stdin);
    int n,m,q;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&la[i]),sum1+=la[i],ina[la[i]+250000]=true;
    for(int i=1;i<=m;++i)scanf("%d",&lb[i]),sum2+=lb[i],inb[lb[i]+250000]=true;
    for(int i=1;i<=q;++i){
        int x;
        scanf("%d",&x);
        int f=0;
        if(x<0)f=1,x=-x;

        for(int j=1;j<=sqrt(x);++j){
            if(x%j==0){
                if(checkit(j,x/j,f)){
                    printf("Yes\n");
                    f=2;
                    break;
                }
            }
        }
        if(f==2)continue;
        printf("No\n");
    }
}