莫队算法~讲解

用了大约1h搞定了基础的莫队算法。写篇博客算是检验下自己的学习成果。

一.什么是莫队算法？

莫队算法是用来处理一类无修改的离线区间询问问题。——（摘自前国家队队长莫涛在知乎上对莫队算法的解释。）

莫队算法是前国家队队长莫涛在比赛的时候想出来的算法。

传说中能解决一切区间处理问题的莫队算法。

准确的说，是离线区间问题。但是现在的莫队被拓展到了有树上莫队，带修莫队（即带修改的莫队）。这里只先讲普通的莫队。

还有一点，重要的事情说三遍！莫队不是提莫队长！莫队不是提莫队长！！莫队不是提莫队长！！！

二.为什么要使用莫队算法？

看一个例题：给定一个n(n<50000)元素序列，有m（m<200000）个离线查询。每次查询一个区间L~R，问每个元素出现次数为k的有几个。（必须恰好是k，不能大于也不能小于）

我们很容易想到用线段树或者树状数组直接做，但是我们想，如果是用线段树或者树状数组做而且我们不会优化的话（请dalao无视掉，您可以直接线段树做了。）每次修改和维护会很麻烦，线

段树和树状数组的优势体现不出来。

这时候就要使用莫队算法了。

三.莫队算法的思想怎么理解？

接着上面的例题，直接暴力怎么样？？

肯定会T的啊。（luogu P1972 [SDOI2009]HH的项链 原数据居然可以mn模拟过......当然现在不行了）

但是如果这个暴力我们给优化一下呢？

我们想，有两个指针curL和curR，curL指向L，curR指向R。

L和R是一个区间的左右两端点。

利用cnt[]记录每个数出现的次数，每次只是cnt[a[curL]] cnt[a[curR]]修改。

举个栗子：

我们现在处理了curL—curR区间内的数据，现在左右移动，比如curL到curL-1，只需要更新上一个新的3，即curL-1。

那么curL到curL+1，我们只需要去除掉当前curL的值。因为curL+1是已经维护好了的。

curR同理，但是要注意方向哦！curR到curR+1是更新，curR到cur-1是去除。

我们先计算一个区间[curL curR]的answer，这样的话，我们就可以用O(1)转移到[curL-1 curR] [curL+1 curR] [curL curR+1] [curL curR-1]上来并且求出这些区间的answer。

我们利用curL和curR，就可以移动到我们所需要求的[L R]上啦~

这样做会快很多，但是......

如果有个**数据，让你在每个L和R间来回跑，而且跨度很大呢？？

我们每次只动一步，岂不是又T了？？

但是这其实就是莫队算法的核心了。我们的莫队算法还有优化。

这就是莫队算法最精明的地方（我认为的qwq），也正是有了这个优化，莫队算法被称为：优雅的暴力

我们想，因为每次查询是离线的，所以我们先给每次的查询排一个序。

排序的方法是分块。

我们把所有的元素分成多个块（即分块）。分了块跑的会更快。再按照右端点从小到大，左端点块编号相同按右端点从小到大。

这样对于不同的查询

例如：

我们有长度为9的序列。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 分为1——3 4——6 7——9

查询有7组。[1 2] [2 1000] [1 3] [6 9] [5 8] [3 8] [8 9]

排序后就是：[1 2] [1 3] [3 8] [2 1000] | [5 8] [6 9] | [8 9]

然后我们按照这个顺序移动指针就好啦~

这样，不断地移动端点指针+精妙的排序，就是普通莫队的思想啦~

时间复杂度证明

关于时间复杂度的证明：给一个角度，其实从不同的角度看，证法很多： 对于左端点在一个块中时，右端点最坏情况是从尽量左到尽量右，所以右端点跳时间复杂度O(n),左端点一共可以在n0.5个块中，所以总时间复杂度O(n*n0.5) = (n1.5)。

四.具体代码实现：

1.对于每组查询的记录和排序：

l，r为左右区间编号，p是第几组查询的编号

struct query{
    int l, r, p;
}e[maxn];

bool cmp(query a, query b)
{
    return (a.l/bl) == (b.l/bl) ? a.r < b.r : a.l < b.l;
}

2.处理和初始变量：

answer就是所求答案，bl是分块数量，a[]是原序列，ans[]是记录原查询序列下的答案，cnt[]是记录对于每个数i，cnt[i]表示i出现过的次数，curL和curR不再解释，nmk题意要求。

int answer, a[maxn], m, n, bl, ans[maxn], cnt[maxn], k, curL = 1, curR = 0;
void add(int pos)//添加 
{
    //do sth...
}
void remove(int pos)//去除 
{
    //do sth...
}
//一般写法都是边处理 边根据处理求答案。cnt[a[pos]]就是在pos位置上原序列a出现的次数。 

3.主体部分及输出：

预处理查询编号，用四个while移动指针顺便处理。

在这里着重说下四个while

我们设想有一条数轴:

当curL < L 时，我们当前curL是已经处理好的了。所以remove时先去除当前curL再++

当curL > L 时，我们当前curL是已经处理好的了。所以 add  时先--再加上改后curL

当curR > R 时，我们当前curR是已经处理好的了。所以remove时先去除当前curR再--

当curR < R 时，我们当前curR是已经处理好的了。所以 add  时先++再加上改后curR

　　n = read(); m = read(); k = read();
    bl = sqrt(n);

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    a[i] = read();
    
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        e[i].l = read(); e[i].r = read();
        e[i].p = i;
    }
    
    sort(e+1,e+1+m,cmp);
    
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int L = e[i].l, R = e[i].r;
        while(curL < L)
        remove(curL++);  
        while(curL > L)
        add(--curL);
        while(curR > R)
        remove(curR--);
        while(curR < R)
        add(++curR);
        ans[e[i].p] = answer;
    }
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;

五.实战莫队：

【luogu P1972 [SDOI2009]HH的项链】

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1972

因为原来数据被大模拟过了，所以数组50000要多开。add和remove根据不同情况处理，如果当前有相同的了再++肯定不是1，如果当前相同的不止一个，remove--的时候肯定不是0，不会造成影响。反之则可以判断有多少是不同元素。

//HH的项链 
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 200001;
const int maxm = 500001;
int m, n, bl, answer, curL = 1, curR = 0, ans[maxn], a[maxn], cnt[maxm];//a是原序列 cnt是记录每个数字出现的次数
inline int read()
{
    int k=0;
    char c;
    c=getchar();
    while(!isdigit(c))c=getchar();
    while(isdigit(c)){k=(k<<3)+(k<<1)+c-'0';c=getchar();}
    return k;
}
struct query{
    int l, r, p;//l 左区间     r 右区间     p 位置的编号 
     /*friend bool operator < ( query a, query b ) {
        return (a.l/bl) == (b.l/bl) ? a.r < b.r : a.l<b.l ;
    }*/
}e[maxn];
bool cmp(query a, query b) 
{
    return (a.l/bl) == (b.l/bl) ? a.r < b.r : a.l<b.l;
}
void add(int pos)
{
    if((++cnt[a[pos]]) == 1) ++answer;
}
void remove(int pos)
{
    if((--cnt[a[pos]]) == 0) --answer;
}
int main()
{
    n = read();
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    a[i] = read();
    
    m = read();
    
    bl = sqrt(n);
    
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        e[i].l = read(); e[i].r = read();
        e[i].p = i;
    }
    sort(e+1,e+1+m,cmp);
    
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int L = e[i].l, R = e[i].r;
        while(curL < L)
            remove(curL++);
        while(curL > L)
            add(--curL);
        while(curR > R)
            remove(curR--);
        while(curR < R)
            add(++curR);
        ans[e[i].p] = answer;
    }
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}

【luogu P2709 小B的询问】

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2709#sub

add和remove对于平方相加减的运算利用完全平方式逆回去。

1^2 = 1;
2^2 = (1+1)^2 = 1 + 1*2 + 1;
3^2 = (1+2)^2 = 1 + 2*2 + 4;
4^2 = (1+3)^2 = 1 + 3*2 + 9;
......

//小B的询问 
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 50001;
int answer, a[maxn], m, n, bl, ans[maxn], cnt[maxn], k, curL = 1, curR = 0;
void add(int pos)
{
    answer+=(((cnt[a[pos]]++)<<1)+1);//完全平方式展开 
}
void remove(int pos)
{
    answer-=(((--cnt[a[pos]])<<1)+1);//完全平方式展开
}
inline int read()
{
    int k=0;
    char c;
    c=getchar();
    while(!isdigit(c))c=getchar();
    while(isdigit(c)){k=(k<<3)+(k<<1)+c-'0';c=getchar();}
    return k;
}
struct query{
    int l, r, p;
}e[maxn];
bool cmp(query a, query b)
{
    return (a.l/bl) == (b.l/bl) ? a.r < b.r : a.l < b.l;
}
int main()
{
    n = read(); m = read(); k = read();
    bl = sqrt(n);

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    a[i] = read();
    
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        e[i].l = read(); e[i].r = read();
        e[i].p = i;
    }
    
    sort(e+1,e+1+m,cmp);
    
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int L = e[i].l, R = e[i].r;
        while(curL < L)
        remove(curL++);  
        while(curL > L)
        add(--curL);
        while(curR > R)
        remove(curR--);
        while(curR < R)
        add(++curR);
        ans[e[i].p] = answer;
    }
    for(int i = 1; i <= m; i++)
    printf("%d\n",ans[i]);
    return 0;
}

这两个题我都用了快读在里面。可以摘下来当板子背。

最后！我要吐槽一句！！luogu试炼场线段树和树状数组的题！我线段树一个也过不了！（我真是太蒟蒻了）所以还是莫队大法好！

这是几篇我学莫队时参考的博客，如果觉得我讲的不够详细，可以借鉴。

https://blog.csdn.net/wzw1376124061/article/details/67640410

https://zhuanlan.zhihu.com/p/25017840

https://www.cnblogs.com/Paul-Guderian/p/6933799.html