数论函数与筛法
欧拉函数
\(\varphi(n)\) 表示 \([1,n]\) 中与 \(n\) 互质的数的个数。
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对于质数 \(p\)，\(\varphi(p^k)=(p-1)\times p^{k-1}\)。\(\le p^k\) 中不是 \(p\) 的倍数中的数都与 \(p^k\) 互质，所以结果就是 \(p^k-p^{k-1}=(p-1)\times p^k\)。
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\(\varphi(n)\) 是积性函数，于是对于 \(a\) 与 \(b\) 互质，有 \(\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\)。
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\(\varphi(n)=n\prod\dfrac{p_i-1}{p_i}\)
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若 \(p\) 为质数，\(\varphi(p)=p-1\)。
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对于 \(a|b\)，\(\varphi(ab)=a\varphi(b)\)
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\(\varphi(p)=\begin{cases}p\times\varphi(\dfrac{n}{p})& p^2|n \\(p-1)\times\varphi(\dfrac{n}{p})& p^2\nmid n \end{cases}\)
其实就是将 \(n\) 拆分成 \(p\times \frac{n}{p}\)，情况一就是 \(p\mid \dfrac{n}{p}\) 的情况，可以转化到定理五。情况二就是 \(p\nmid \frac{n}{p}\) 的情况，可以转化到 -
(欧拉反演) \(\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n\)
证明：使 \(i<n,\gcd(n,i)=d\) 的 \(i\) 的个数为 \(\varphi(\dfrac{n}{d})\)，于是 \(n=\sum\limits_{d|n}\sum\limits_{i=1}^n[\gcd(n,i)=d]=\sum\limits_{d|n}\varphi(\dfrac{n}{d})\)。 -
若 \(a|b\)，则 \(\varphi(a)|\varphi(b)\)。
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对 \(n>2\)，\(2|\varphi(p)\)
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对于所有 \(1\le x\le n\)，使得 \(\gcd(n,x)=d\) 成立的 \(x\) 个数为 \(\varphi(\dfrac{n}{d})\)。
欧拉定理
\(a^{\varphi(p)}\equiv 1 \pmod p\)
莫比乌斯反演
各类积性函数
莫比乌斯函数 \(\mu(n)=\begin{cases}0& \exists d>1
\\(-1)^{\omega(n)} &\operatorname{otherwise}
\end{cases}\)
其中 \(\omega(n)\) 代表 \(n\) 的质因子个数。
狄利克雷卷积
\(h(x)=\sum\limits_{d|n}f(d)g(\dfrac{n}{d})\) 乘法卷积
莫比乌斯函数
\(\sum\limits_{d|n}\mu(\frac{n}{d})=\begin{cases}1&n=1
\\0 &n>1
\end{cases}\)
这就是 \(\mu * 1=\epsilon\)。
\(\varphi(n)=\sum\limits_{d|n}d\times\mu({\dfrac{n}{d})}\)
变式：\(\dfrac{\varphi(n)}{n}=\sum\limits_{d|n}\dfrac{\mu(\frac{n}{d})}{d}\)。
\(\sum\limits_{d|\gcd(i,j)}\mu(d)=[\gcd(i,j)=1]\)
\(\mu(np)=\mu(p)\times \mu(n)=-\mu(n)\)
反演公式
\(f(n)=\sum\limits_{d|n}g(d) \Rightarrow g(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)\times f(\dfrac{n}{d})\)
鬼吹灯
U403635 鬼吹灯
\(n\) 为奇数时，注意 \(\gcd(n,i)=\gcd(n,n-i)\)，因此 \(S=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i\gcd(n,i)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\gcd(n,n-i)=-S\)，故 \(S=0\)。
求和中 \((-1)^{jd}\) 比较棘手，考虑分 \(d\) 奇偶讨论：
蓝色部分是因为 \(n\) 是偶数，\(d\) 是奇数，因此 \(\frac{n}{d}\) 是偶数，\(j\) 与 \(\frac{n}{d}\) 互质，因此 \(j\) 是奇数。
做法一：枚举 \(d\)，暴力算 \(\varphi(n/d)\)，时间复杂度为 \(T(n)=\sum_{d\mid n}\sqrt{d}=O(n^{0.5+\epsilon})\)，可以通过。
证明：考虑设 \(n\) 的标准分解为 \(\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i}\)，记 \(q_i=\sqrt{p_i}\)。
\[\begin{aligned} \sum_{d|n}\sqrt d&=\prod_{i=1}^{k}(1+q_i+\cdots+q_i^{\alpha_i})\\ &=\prod_{i=1}^{k}q_i(1+q_i^{-1}+\cdots+q_i^{-\alpha_i})\\ &=\sqrt{n}\prod_{i=1}^{k}(1+q_i^{-1}+\cdots+q_i^{-\alpha_i})\\ &<\sqrt{n}\prod_{i=1}^{k}\sum_{j=0}^{+\infty}q_i^{-j}\\ &=\sqrt{n}\prod_{i=1}^{k}\frac{1}{1-q_i^{-1}} \end{aligned} \]即每个不同的质数 \(p_i\) 除了 \(\sqrt{n}\) 之外贡献为 \(\frac{1}{1-q_i^{-1}}=\frac{\sqrt{p_i}}{\sqrt{p_i}-1}\)。我们可以取某个 \(N\)，把 \(\prod_{i=1}^{N-1}\frac{\sqrt{p_i}}{\sqrt{p_i}-1}\) 当作常数，而后面的质数都放缩成 \(p_N\)，则时间复杂度为 \(O(n^{0.5}(\frac{\sqrt{p_N}}{\sqrt{p_N}-1})^{\log_{p_N}n})=O(n^{0.5+\log_{p_N}(\frac{\sqrt{p_N}}{\sqrt{p_N}-1})})\)，\(\log_{p_N}(\frac{\sqrt{p_N}}{\sqrt{p_N}-1})\) 可以任意小，因此时间复杂度不超过 \(O(n^{0.5+\epsilon})\)。
做法二：对 \(n\) 质因数分解，dfs 搜索每个质因数，同时算出其 \(\varphi\)，时间复杂度 \(O(d(n))\)。
做法三：考虑 \(A(n)=\sum_{d|n}(-1)^{d+1}d\varphi(\frac{n}{d})\)，答案为 \(n-A(n)\)。
设 \(f(d)=(-1)^{d+1}d\)，\(f,\varphi\) 都是积性函数，且 \(A=f*\varphi\)，因此 \(A\) 是积性函数，只要计算质数幂次的取值。
注意 \(A(p^k)=\sum_{i\le k}(-1)^{p^i+1}p^i\varphi(p^{k-i})\)，利用等比数列求和可以 \(O(1)\) 计算。因此能做到和质因数分解相同的时间复杂度。
