Day4
满足父亲在儿子前面被遍历的树的拓扑序计数，为 \(\dfrac{n!}{\prod size}\)。
QOJ8047. DFS Order 4
我们可以来算有多少种 dfs 序可以还原到一颗合法的树。
如何判定一个序列合法？我们贪心的把点往一条父链上挂。如果 \(p_i>p_{i-1}\)，那么可以挂在这条链末尾 \(p_{i-1}\) 的下方。如果 \(p_i>p_{i-1}\)，我们可以在这条链上找到一个最深的祖先满足 \(p_k<p_i\)，我们把 \(p_i\) 挂在 \(p_k\) 的父亲上(这相当于 dfs 的回溯过程)，这样子既满足兄弟节点编号递增，也满足了儿子大于父亲。这样子排列就和树一一对应了。
这样子贪心连出来的树等价于以下限制：每个点编号小于父亲，每个点儿子编号
可以发现第 \(2-k\) 个兄弟节点和父亲间的约束没有用，可以通过 \(son_2>son_1>fa\) 来得到。直接删掉就行了。在兄弟之间连边。
设 \(d_i\) 表示 \(sz=i\) 的子树的贡献。\(f_{i,k}\) 表示 \(sz=i\)，底下儿子深度到了 \(k\) 的方案数。
\(f_{i+j,k}\gets f_{i,k}\times d_j\times\dfrac{1}{i+j}\)
\(f_{i+j,k+1}\gets -d_j\times f_{i,k}\times\dfrac{1}{i+j}\)
\(f_{i+1,k-1}\gets f_{i,k}\times \times\dfrac{1}{i+}\)
\(d_{i+1}\gets f_{i,0}\)
AGC020F Arcs on a Circle
先断环为链，发现实数有点难做，所以我们用 \((n-1)!\) 来描述小数部分的顺序，这样子只要知道整数部分的关系就能只要能否拼接了。由于原本是环，所以不是 \(n!\)。然后再状压 dp 一下就行了。
AGC036F Square Constraints
对于 \(p_i\in[1,r_i]\) 的排列计数，我们可以将 \(r_i\) 排序，然后乘法原理那么总方案数是 \(\prod (r’_i-i+1)\)。
我们画一下 \(P_i-i\) 可选区域的关系图。其实这本质是 \(p_i\in[l_i,r_i]\) 的排列计数。考虑将上述结论应用过来。为了消除左下角的影响，可以用容斥。
某计数题
对于每个 \(x,y\)，求有多少个长度为 \(n\) 的排列，满足有 \(x\) 个 \(p_i>i\)，有 \(y\) 个 \(p_i>p_{i+1}\)。\(n\le 60\)。
我们设 \(dp_{i,x,y,a}\)，表示我们目前扫到了 \(i\)，有 \(x\) 个 \(p_i>i\)，钦定了 \(y\) 个 \(p_i>p_{i+1}\)，
AGC039F Min Product Sum
设 \(dp_{i,x,y}\) 表示行为 \(x\)，列为 \(y\)，\(\le i\) 的贡献。
UNR#7 C. 璀璨宝石
首先一定是把所有宝石拿完然后开始买发展卡。最暴力的就是 \(O(2^n)\)，枚举拿发展卡顺序。
如果我们确定了买发展卡的顺序，这样子就可以确定每种宝石需要的个数。
答案就是
对于第一个特殊性质，直接设 \(dp_{i,j}\) 表示桌面上为第
设 \(dp_{i,j,k,0/1,a/b/c/d/e}\) 表示当前桌面上的发展卡是第 \(i\) 张和第 \(j\) 张，剩下状态看下文。
设计一个状态 \((k,,0,a/b/c/d/e)\) 表示有 \(k\) 个 \(a/b/c/d/e\) 未匹配，匹配个数。
设计一个状态 \((k,1,a/b/c/d/e)\) 表示当前有 \(k\) 个非 \(a/b/c/d/e\) 未匹配，匹配个数。
LGV
有一张图满足对于
QOJ4893. Imbalance
对于 \(k\le 20\)，可以状压。
对于 \(k>20\)，我们可以对 \(0\) 和 \(1\) 个数作 \(+-1\) 前缀和，画成折线图。
如果画成全局折线图不方便研究，可以画成周期为 \(k\) 的折线图，发现路径不相交，于是变成 LGV。
集合幂级数
三进制mex卷积
\(3^n\) 的序列。\(\{x_0,x_1..x_{n-1}\}\) 与 \(\{y_0,y_1..y_{n-1}\}\) 卷积得到 \(\{z_0,z_1..z_n\}\)，其中 \(z_i=\operatorname{mex}(x_i,y_i)\)。\(n\le 11\)。
\(c_0=a_1b_1+a_1b_2+a_2b_1+a_2b_2\)
\(c_1=a_0b_0+a_0b_2+a_2b_0\)
\(c_2=(a_0+a_1+a_2)(b_0+b_1+b_2)-c_0-c_2\)
\(a_0,a_1,a_2\to a_1+a_2,a_0+a_2,a_2+a_0+a_1+a_2\)
这是 \(3^n\to 4^n\)。令上述分别为 \(A,B,C,D\)。
\(A,B,C,D\to A,B-C,D-A-B-C\)。
子集卷积
不相交集合的并，那么 \(j|k=i \to \lvert j\rvert+\lvert k\rvert=\lvert i\rvert\)。
\(A=A_0+A_1+...+A_n\)。\(A_i\) 包含所有 \(\lvert S\rvert=i\) 的 \(A_s\)。
\(A*B=\sum\limits_{i,j}(A_i\times B_j)\)，只保留所有 \(\lvert S\rvert =\lvert i\rvert+\lvert j\rvert\) 的部分。
QOJ5089. 环覆盖
生成函数
题目
给定一个字符串 \(s\) 和字符集 \(r\)，求有多少个长度为 \(n\) 的字符串不包含 \(s\) 作为子串。\(n\le 2\times 10^5\)。
考虑钦定 \(t\) 的若干部分为 \(s\)。这几个部分可以相交，相交长度最长为 border，记为 \(k\)。令 \(c(x)=\sum\limits_{i=1}^kx^{m-ci}\)，
\(SEQ(rx-x^m\times\dfrac{1}{1+c(x)})\)。
通用测评号
假设我们最后一次操作了第一个位置的使他 \(b-1\to b\)。然后钦定 \(k\) 个 \(\ge a\)。
操作 \(n\) 次，\(\dfrac{n!}{\prod x_i!}\)
\(\dfrac{x^{b-1}}{(b-1)!}(e^x-\sum\limits_{i=0}^{a-1}\dfrac{x^i}{i!})^k(\sum\limits_{i=b}^{a-1}\dfrac{x^i}{i!})\)。
\(\sum\limits_{m}\dfrac{m!}{n^m}[x^m]F_k(x)\)，将 \(n^m\) 放进去就是 \(\dfrac{x}{n}\)。\([x^m]e^{ax/n}\times x^b\)。
方格染色
对于直线多项式，线段分块多项式。
节日装饰
相对误差不超过 \(0.5\)，等价于答案在 \([k,2k]\) 中时，我们直接回答 \(k\)。
我们把区间分成
我们构造一个差卷积，\(c_i=\sum\limits_{j-k=i}a_jb_k\)。
只要让 \(x_u\) 和 \(x_v\) 贡献 \(c_uc_v(c_u-c_v)^2\)
