早年省选题选做

很多年前的省选题，比较套路。

BJOI2016

P5460 [BJOI2016] IP地址

JSOI2015

P6088 [JSOI2015] 字符串树

解法一：链查询，第一反应肯定是树链剖分。但是不太能写个线段树套 Tire 吧。我们考虑将询问拆分成 \(\log n\) 个放到 dfs 序区间上，然后容斥一步 \([l,r]=[1,r]-[1,l-1]\)，这样子只需要最后离线扫描线，向 Trie 中动态加入字符串即可。
解法二：可以用 hash 判断字符串相等，同样转化为树链剖分。

FJOI2016

P4587 [FJOI2016] 神秘数

考虑暴力求一个集合内的神秘数，先将这个集合内的数升序排序。扫描这个序列，设当前值域为 \([1,S]\)，如果 \(a_i \le S+1\)，那么可以将值域扩展为 \([1,S+a_i]\)。这么做时间复杂度为 \(O(nm\log n)\)。我们发现无法避免掉扫描这个过程，因为这个过程不像二分那样具有单调性，一旦中间有一个地方不满足就要推出。

既然避免不掉扫描，这里不妨转变一下思路既然对于下标扫描会超时，那么我们可以尝试对于值域扫描。如果当前值域为 \([1,val]\)，那么 \(ans=val+1\)。尝试对于区间内所有小于 \(ans\) 的值求和，得到的结果 \(sum\)，如果 \(sum\ge ans\)，显然就是因为有数没有选上，直接选上即可。然后 \(ans \gets sum+1\)，继续这个过程。分析一下时间复杂度，我们发现 \(ans\) 的增长下界是类似于斐波那契数列的，于是这是 \(O(\log(\sum a_i))\) 级别的。

HNOI2016

Day1 怕不是莫队场？？前两题都是可以用莫队解决的。

P3245 [HNOI2016] 大数

看似字符串，实则区间询问题。我们可以用莫队来解决。
但是这种整除不具有可算性，很难刻画。
考虑维护 \(s_i\) 表示 \([i,n]\) 里面的数字组成的数在 \(\bmod p\) 意义下的值，通过递推很容易求解。
然后想要通过 \(s_i\) 得到 \(\overline{a_l,a_{l+1}...a_r} \bmod p\) 的结果，就可以通过类似字符串哈希的处理方法进行区间转后缀相减。于是 \(s_l \equiv s_{r+1} \bmod p\) 即可，莫队维护。
同时注意当 \(p=2/5\) 的时候，要单独讨论，因为上述方法推导的时候要 \(\times 10\)，这会造成 \(\bmod 2/5\) 意义下的错误，根据两者末尾数字的特征判断即可。

P3246 [HNOI2016] 序列

\(O(n\sqrt n)\) 的离线莫队是显然的。

这里有一个 \(O(n\log n)\) 的在线算法。

考虑通过最小值乘以区间长度快速求解。显然从每个点出发都有一个前缀序列，\(pre_x\) 表示最大的 \(y < x\)，满足 \(a_y<a_x\)。这些可以通过单调栈求解。于是 \([y+1,x]\) 这一段的贡献便是 \(a_x\)。我们可以用这些区间拼凑出答案区间。

设 \(f_R\) 表示 \([1,R],[2,R]...[R,R]\) 的区间贡献，注意因为要统计所有子区间的贡献，所以这里设 \(f\) 必须表示多个区间的和，否则后面难以计算多个子区间。\(f\) 可以用过递推求解，\(f_R=f_{pre_R}+(R-pre_R)\times a_R\)。我们并不需要计算从 \(1\) 开始的值，所以要做一个类似前缀相减的东西。

减去的贡献是 \([1,R]...[x,R]\)，如何选取 \(x\) 就很重要了，这里我们取 \(x\) 为询问区间最小值的位置，这样子 \([1,R]...[x,R]\) 就等价于 \([1,x]...[x,x]\)，也就是 \(f_x\)，所以 \([x+1,R]...[R,R]\) 的贡献就是 \(f_R-f_x\)。

询问区间为 \([l,r]\)，假设最小值的位置是在 \(x\) 处，那么贡献了 \(a_x \times (r-x+1) \times (x-l+1)\)。然后求解 \([l,x-1]\) 和 \([x+1,r]\) 贡献。\([x+1,r]\) 的贡献就是 \(\sum\limits_{i=x+1}^r f_i-f_x\)。\([l,x-1]\) 同理。

TJOI2017

P3760 [TJOI2017] 异或和

异或题考虑拆位计算。先进行前缀和 \(\{s_n\}\)，假设在处理第 \(k\) 位，我们可以扫描所有数，扫到第 \(i\) 的数的时候就是统计有多少 \(s_i-s_j\) 的第 \(k\) 位为 \(1\)。我们发现这个好像不太能直接通过目前的第 \(k\) 位来直接来算。

研究一下性质，和整数减法一样，应该是从低到高来考虑，影响减法后第 \(k\) 位结果的没有更高位只有 \(0-k\) 位。发现当 \(s_i\) 的第 \(k\) 位为 \(1\) 的时候，\(s_i-s_j\) 的第 \(k\) 位为 \(1\)，应该是 \(s_j\) 的第 \(k\) 位为 \(1\) 且 \(s_j\) 的前 \(k\) 位大于 \(s_i\) 的前 \(k\) 位，或者 \(s_j\) 的第 \(k\) 位为 \(0\)，但是 \(s_j\) 的前 \(k\) 位小于等于 \(s_i\) 的前 \(k\) 位。对于 \(s_i\) 的第 \(k\) 位为 \(0\) 同理分析即可。