广义二项式定理

广义组合数与广义牛顿二项式定理

广义组合数 （m, n 均为整数）

1. 当 \(n \geq m \geq 0\) 时，\(C_{n}^{m} = \frac{m!}{n!(n - m)!}\)
2. 当 \(n \geq 0,\ n > m\) 时，\(C_{m}^{n} = \frac{\prod\limits_{i = m - n + 1}^{m} i}{n!}\)
3. 当 \(n > m > 0\) 时，\(C_{-m}^{n} = (-1)^{n}C_{n + m - 1} ^ {m - 1}\)

说明： 一式是通常意义下的组合数，二式是组合数的推广（选的个数比总个数多的时候，对于任意 \(n \geq 0\) 和任意 \(m\) 都成立）

下面证明三式：

\(C_{-m}^{n} = \frac{\prod\limits_{i = -m - n + 1} ^ {-m} i}{n!} = (-1) ^ {n}\frac{\prod\limits_{i = m}^{m + n - 1}i}{n!} = (-1)^{n}C_{m + n - 1} ^ {m - 1}\)

广义组合数（m, n 不全为整数）

当 \(n\) 为整数，\(m\) 不为整数时，\(C_{m}^{n} = \frac{\prod\limits_{i = m - n + 1}^{m} i}{n!}\)

广义牛顿二项式定理

\((1 + x)^{n} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} C_{n}^{k}x^{k}\)

\((1-x)^{-n} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} C_{-n}^{k}(-1)^{k}x^{k} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty}C_{n + k - 1}^{n - 1}x^{k}\)

说明： 在上面式子中，无论 \(n\) 是否为整数都成立。

应用：

求 \((1+x)^{\frac{1}{2}}\) 在 \(x = 0\) 处的泰勒展开式。

\[(1+x)^{\frac{1}{2}} = \sum\limits_{k = 0}^{\infty} C_{\frac{1}{2}}^{k}x^{k} =\sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{\prod\limits_{i = \frac{1}{2} - k + 1} ^{ \frac{1}{2}}i}{k!} x^{k} \\ =\sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{k - 1}(2k-3)!!}{2^{k} \ k!} x ^ {k} \\=\sum\limits_{k = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{k - 1} }{(2k - 1) \ 4^{k} \ k!}C_{2k}^{k}\ x ^ {k} \]