函数极限的性质
函数极限的性质
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唯一性： 若 \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = A,\ \lim\limits_{x \to a} f(x) = B\)，那么有 \(A = B\) .
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有界性： 若 \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = A\)， 则存在点 \(a\) 的某一去心邻域， 在其中函数 \(f(x)\) 是有界的。
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保号性： 若 \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = A > 0\)， 则对任意满足 \(0 < C < A\) 的常数 \(C\)， 都存在点 \(a\) 的某一去心邻域，使在该邻域内有 \(f(x) > C > 0\).
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保序性： 若在点 \(a\) 的某一去心邻域内，有 \(f(x) \geq g(x)\)， 且 \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = A,\ \lim\limits_{x\to a} g(x) = B\)，则有 \(A \geq B\).
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复合函数极限的运算法则： 设 \(y = f[\varphi(x)]\) 是函数\(y = f(u)\) 与 \(u = \varphi(x)\) 的复合函数，若满足下列条件之一：
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\(\lim\limits_{u \to u_{0}} f(u) = f(u_0),\ \lim\limits_{x \to x_0} \varphi(x) = u_0\);
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\(\lim\limits_{u \to u_0} f(u) = A,\ \lim\limits_{x \to x_0} \varphi(x)= u_0\)， 但在 \(0 < |x - x_0| < \var\) 内 \(\varphi(x) \neq u_0\).
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则 \(\lim\limits_{x \to x_0} f[\varphi(x)] = \lim\limits_{ u \to u_0} f(u)\) .
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海涅(Heine)定理： 极限 \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = A\) 的充要条件是： 对任何以 $ a$ 为极限的数列 \(\{x_{n}\}\) $(x_{n} \neq a) $， 都有 \(\lim\limits_{n \to \infty} f(x_n) = A\).
同样地，我们一般反向应用。构造两个数列 \(x_{n}^{1},\ x^{2}_{n}\)，并且它们的极限都是 \(a\), 若 \(\lim\limits_{n \to \infty} f(x^{1}_{n}) \neq \lim\limits_{n \to \infty} f(x^2_{n})\)，那么 \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) 不存在。
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（柯西收敛准则） 极限 \(\lim\limits_{x \to a} f(x)\) 存在有限的充要条件是： 对于任意给定的 \(\varepsilon > 0\) 存在 \(\var\) > 0，使对于任意的 \(x^{\prime},\ x^{\prime\prime}\)，只要 \(|x^{\prime} - a | < \var\) ，\(0 < |x^{\prime\prime} - a| < \var\) ，便有 \(|f(x^{\prime})-f(x^{\prime\prime})| < \varepsilon\).（一般用于不知道极限时判断是否收敛）
