数列极限的性质
数列极限的性质
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唯一性： 取 $ \varepsilon = \frac{a + b}{2}$ 即可。
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有界性： 若 \(\lim\limits_{x \to \infty} x_ {n} = a\)，则该数列有界。
取 $ \varepsilon $ = 1， 则必定有 \(N\) 存在，使得 \(|x_{n} - a| < \varepsilon = 1\)。
从而 \(n > N\) 时， \(|x_{n}| = |(x_{n}-a) + a| \leq |x_{n} - a| + |a| = |a| + 1\)， 有界。
\(n < N\) 时， 令 \(M = \max\{x_{1}, x_{2},...,x_{N}\}\)， 有界。
所以 \(x_{n}\) 有界。
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保号性： $ \lim\limits_{n \to \infty} y_{n} = b > 0$, 则 $ \forall c \in (0, b)$， 都 $ \exists N$， \(n > N\) 时， $ y_{n} > c > 0$ 。
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保序性： \(\lim\limits_{n \to \infty} x_{n} = a, \ \lim\limits_{n \to \infty} y_{n} = b\)， 并且 \(\exists N _{0}\)，使得 \(n > N_{0}\) 时， \(x_{n} \leq y_{n}\)， 则必有 $ a \leq b$。
（如果条件是 \(x_{n} < y_{n}\)， 推出来也仍然是 \(a \leq b\)）
采用反证法.
假定 $ a > b$，对于 $ \varepsilon = \frac{a - b}{2}$， 存在 \(N _{1}, N_{2}\)， 使得当 \(n > N_{1}\) 时， 恒有 $ a - \varepsilon < x_{n} < a + \varepsilon$， \(n > N_{2}\) 时， 恒有$b - \varepsilon < y_{n} < b + \varepsilon $， 令 \(N = \max\{N_{0},\ N_{1},\ N_{2}\}\)，则当 \(n > N\) 时，有 \(x_{n} > a - \varepsilon = \frac{a + b}{2} = b + \varepsilon > y_{n}\)， 矛盾。
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极限存在判断： 单调有界数列必有极限。
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闭区间套定理： 设给了一串闭区间 \([a_1,\ b_1],\ [a_2,\ b_2],\ ...,\ [a_n, \ b_n],...,\) 且满足
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\([a_1,\ b_1] \supset [a_2, \ b_2] \supset [a_3,\ b_3] \supset ... \supset[a_n,\ b_n] \supset...\)
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\(\lim\limits_{n \to \infty} (b_n - a_n) = 0\)
则诸闭区间 \(a_{n},\ b_{n},\ n = (1,\ 2,\ ...)\) 必具有唯一的公共点 \(c\)， 且 $ \lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = \lim\limits_{n \to \infty} b _{n} = c $
\(a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq ...\leq a_{n} \leq ...\leq b_{n} \leq b_{n - 1}\leq ...\leq b_2\leq b_1\)， 故数列 \(\{ a_{n}\}\) 为有上界的增数列， 数列 \(\{b_{n}\}\) 为有下界的减数列， 所以 \(\lim\limits_{n \to \infty} a_{n}\) 和 \(\lim\limits_{n \to \infty} b_{n}\) 都存在。
并且有 \(\lim\limits_{n \to \infty} b_{n} = \lim\limits _{n \to \infty}(b_{n} - a_{n}) + a_{n} = 0 + \lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = c\)
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\(\lim\limits_{n \to \infty} x_{n} = a\) 的充要条件是对其任何子列，\(x_{n_{k}}\) 都有 \(\lim\limits_{x \to \infty} x_{n_{k}} = a\)
由于此定理正用的条件是任何子列，我们没有办法去证明所有子列，但是我们可以逆用，找出 2 个子列，它们的极限不都为 \(a\)，那么这个数列没有极限。
- 柯西(Cauchy)收敛准则：数列 \(x_{n}\) 趋于有限极限的充要条件是： 对于任意给定的 \(\varepsilon > 0\)，必有正整数 \(N\) 存在，使当 \(n > N,\ m > N\) 时，恒有 \(|x_{n} - x_{m}| < \varepsilon.\)
