高等数学笔记(淑芬笔记)

不会面面俱到，大概会顺着学习顺序记一些例题，重要定理和自己的一些思考吧。
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中间改学数分了
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对于二阶导数的记法\(y^{''} = \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}\)，可能大家觉得当然吧。但是一开始有点疑惑，思考一下。
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我们知道\(y^{'}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\)，其中\(\mathrm{d}x\)是我们定义的一个无穷小的常量，那么对这个等式两边同时求导，即得二阶导：

\[y^{''} = \left( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right)^{'} \\ y^{''} = \frac{\left( dy \right)^{'} \times \mathrm{d}x - \mathrm{d}y \times \left( dx \right) ^ {'}}{\left( \mathrm{d}x\right) ^ {2}} \]

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因为\(\mathrm{d}x\)为一个无穷小常量，所以\((\mathrm{d}x) ^ {'}=0\)，所以原式为：

\[y^{''} = \frac{(\mathrm{d}y) ^ {'} \times \mathrm{d}x}{\mathrm{d}x^2} \]

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又\((\mathrm{d}y)^{'} = \frac{\mathrm{d}(\mathrm{d}y)}{\mathrm{d}x}\)
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所以，有：

\[y^{''} = \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}} \]

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\(\textbf{渐近线}\)：
\(y = kx + b\) 为曲线\(y = f(x)\)的渐近线的充要条件为：$$k = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}, \quad b = \lim\limits_{x \to \infty} f(x) - kx$$
如求：\(y=(2x-1)e ^ {\frac{1}{x}}\)的渐近线 (\(y = 2x+1\))
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算是之前不是很熟悉的积分吧？
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\[\int \sec(x)\tan(x)\mathrm{d}x=\sec(x) + C \]

\[\int \csc(x)\cot(x)\mathrm{d}x=-\csc(x) + C \]

\[\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin(x) ^ {2}} = \int \csc(x)^{2}\mathrm{d}x = -\cot(x) + C \]

要注意：$$\int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln|x| + C$$（有一个绝对值）
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在求解极限时，只要是乘式，是可以进行等价替换的。如： $$\lim\limits_{n \to 0} \frac{e^{\sin x}(1-e^{\tan x - \sin x})}{\sin x - \tan x}= \lim\limits_{n \to 0}\frac{e^{\sin x}(\sin x - \tan x)}{\sin x - \tan x} = e^{0} = 1$$
因为我们有等价$ e^{x} $ ~ \(x + 1, x \to 0\)，所以我们替换的是一个式子，而不是某一个项。
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斯特林公式：$$ n! = \sqrt{2 \pi n} \left( \frac{n}{e}\right)^{n}$$
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\[\lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sum\limits_{k = 1}^{n} f\left( \frac{k}{n}\right ) = \int_{0}^{1}f(x)\mathrm{d}x \]