Luogu P1595 信封问题

\(\large{题目链接}\)
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题意：

某人写了\(n\)封信和\(n\)个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有信都装错信封共有多少种不同情况。

思路：

1.依据递推公式：\(D_n = (n-1)\times (D_{n-1} +D_{n-2})\)
2.学习二项式反演发现这题也可以用这个做。
首先二项式反演的公式是：\(f_{n}=\sum \limits^{n}_{i=0}\left( -1\right) ^{i}\begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}g_{i} \Leftrightarrow g_{n}=\sum \limits^{n}_{i=0}\left( -1\right) ^{i}\begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}f_{i}\)
更常用的式子是\(f_{n}=\sum \limits^{n}_{i=0}\begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}g_{i}\Leftrightarrow g_{n}=\sum \limits^{n}_{i=0}\left( -1\right) ^{n-i}\begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}f_{i}\)
回归这个题，我们知道\(n\)个信的排列的方案数是\(n!\)。
设\(f_i\)表示有\(i\)恰好有\(i\)个位置改变的排列个数，那么\(n\)个的排列总数就是\(i = 0,1,...,n-1,n\)的和，即\(n! = \sum \limits^{n}_{i=0}\begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}f_{i}\)，观察这个式子，与刚刚的反演式子很相似，这里的\(n!\)就是\(g_n\)。
那么利用二项式反演公式可以得到：

\[f_n = \sum \limits^{n}_{i=0}\left( -1\right) ^{i+n}\begin{pmatrix} n \\ i \end{pmatrix}f_{i}\]

\[=n!\sum \limits^{n}_{i=0}\dfrac {\left( -1\right) ^{i}}{i!} \]

由于没有逆元，所以把\(n!\)提进去。

代码：

#include <bits/stdc++.h>

typedef long long ll;

int main() {
	ll fac[23];
	fac[0] = fac[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= 20; ++i) fac[i] = fac[i - 1] * i;
	int n;
	std::cin >> n;
	ll ans = 0;
	for (int i = 0; i <= n; ++i) ans += (i & 1) ? -(fac[n] / fac[i]) : fac[n] / fac[i];
	std::cout << ans;
	return 0;
}