【理论】左偏树笔记

左偏树是可并堆的一种实现方法。

左偏，很容易形象地理解它是什么意思。

但对于一棵树，如何用形象和具体化的语言来描述左偏性质？

考虑定义 \(dis_i\) 表示 \(i\) 的子树中最近的空节点理 \(i\) 点的距离。

空节点是什么意思？由于左偏树是一棵二叉树，所以一个点没有左儿子/右儿子，其实可以看做其有一个左空儿子/右空儿子。

不难发现 \(dis_i\) 等价与 \(i\) 的子树往下拓展 \(1\sim dis_i-1\) 层都将是满二叉树，当拓展到 \(dis_i\) 层时其一定不是一棵满二叉树。

感性理解一下 \(dis_i\) 可以用来衡量一个点 \(i\) 的子树的茂密程度。

那么左偏的表示就呼之欲出了，\(dis_{ls}\ge dis_{rs}\)，即左边比右边更茂密。

那么维护 \(dis\) 也变得十分方便，即 \(dis_x=dis_{rs}+1\)。

好了，左偏树的左偏性质搞好了，堆性质维护起来也很容易，关键是，其作为可并堆，如何合并？

类似 FHQ 与线段树合并，设一个 \(merge(x,y)\) 表示将 \(x,y\) 合并后的新节点。

每次 \(merge(x,y)\)，我们将更小的点拿出来作为根（为了满足堆性质），然后将另外一个点与与更小的点的右儿子进行合并？

为什么是右儿子？因为我们再满足左偏条件下还要保证左右子树相对均匀。

那 \(merge\) 完了不再左偏了怎么办？交换一下左右子树即可。

这样合并就做完了。

删除一个点怎么做？

考虑直接合并该点的左右儿子即可。

那么就只差最后一步了，找某个点对应左偏树的根。

这看似轻松，实则不然，如果用朴素并查集，无法支持左偏树的删除操作，如果暴力跳的话，左偏树合并虽然是 \(O(\log n)\)，可树高确是实打实的 \(O(n)\)。

考虑在左偏树上进行路径压缩，然后类似并查集那样不断 find，这么做的话，即使将一个点删掉，由于之前有的节点在先前的路径压缩时指向了它，所以这个节点依然会在路径压缩中以另一种形式存在。

做完了。

代码

ll n,m,a[1000005],ls[1000005],rs[100005],fa[1000005],dis[1000005],f[1000005];
bool del[1000005];
ll find(ll x){return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);}
bool cmp(ll x,ll y){return a[x]==a[y]?x<y:a[x]<a[y];}
void maintain(ll x){
	if(ls[x]) fa[ls[x]]=x;
	if(rs[x]) fa[rs[x]]=x;
	if(dis[ls[x]]<dis[rs[x]]) swap(ls[x],rs[x]);
	dis[x]=dis[rs[x]]+1;
	return;
}
ll merge(ll x,ll y){
	if(!x||!y) return x+y;
	if(cmp(y,x)) swap(x,y);
	rs[x]=merge(rs[x],y);
	maintain(x);
	return x;
}
int main(){
	rd(n);
	rd(m);
	rep(i,1,n){
		dis[i]=1;
		f[i]=i;
		rd(a[i]);
	}
	while(m--){
		ll opt;
		rd(opt);
		if(opt==1){
			ll x,y;
			rd(x);
			rd(y);
			if(del[x]||del[y]) continue;
			ll fx=find(x),fy=find(y);
			if(fx==fy) continue;
			f[fx]=f[fy]=merge(fx,fy);
		}
		else{
			ll x;
			rd(x);
			if(del[x]){
				puts("-1");
				continue;
			}
			ll fx=find(x);
			printf("%lld\n",a[fx]);
			del[fx]=1;
            dis[fx]=-1;
			fa[ls[fx]]=fa[rs[fx]]=0;
			f[fx]=f[ls[fx]]=f[rs[fx]]=merge(ls[fx],rs[fx]);
        }
	}
}