光速幂技巧

有一个问题，即求：

$$a^{b}modp$$

底数 $a$ 和模数 $p$ 均固定。

朴素做法是快速幂，时间复杂度 $O(\log p)$。

记 $b$ 的值域为 $0\sim v$，则存在一种 $O(\sqrt{v})$ 预处理，$O(1)$ 查询的算法，我们一般称其为光速幂。

如何做，考虑阈值分治，设置阈值 $\omega$。

预处理出 $a^0,a^1,a^2,...,a^{\omega -1}$ 以及 $a^0,a^{\omega },a^{2\omega },...,a^{\lceil \frac{v}{\omega }\rceil \omega }$。

回答询问 $a^{b}modp$ 时直接输出 $a^{bmod\omega }\times a^{\lfloor \frac{b}{\omega }\rfloor \omega }$ 皆可，很显然复杂度 $O(1)$。

预处理复杂度 $O(\omega +\frac{v}{\omega })$，显然 $\omega$ 取 $\sqrt{v}$ 时最优，此时预处理复杂度为 $O(\sqrt{v})$。

从而我们做到了 $O(\sqrt{v})$ 预处理，$O(1)$ 查询。

不过由于其要求底数和模数固定，所以比较局限。