[学习笔记]线段树优化建图

一个点向一个点连边太easy了。

现实有的时候并没有这么简单。

 

对于这样的一类问题：
需要多次（m=1e5次左右）从一个编号在[L1,R1]的区间内的所有点，向另一个编号在[L2,R2]的所有点之间分别连权值相同的边。

求S到T的最短路，或者其他的信息。

就是一个建图的辅助工具。解题具体思想还是靠图论。

 

暴力连边是O(mn^2)的。时空不足。

对于区间连边，我们考虑处理区间问题的大杀器：线段树。

具体做法如下：

建造两棵线段树A，B

A保存入的信息，B保存出的信息。

到了A的某个节点，代表进入了这个点所代表的区间，位置可以认为是区间所有的包含点的叠加态。

到了B的某个节点，代表可以从这个点代表的区间中的任意一个边出去。

连边：

1.A树父亲向儿子连0边，能够进入父亲节点，必然就可以选择进入儿子节点。叠加态具体化。

2.B树儿子向父亲连0边，儿子属于父亲节点，父亲节点代表区间连出去边，儿子节点也一定可以走。

3.A树B树间的平行节点之间，由A向B连0边，代表，我进入A点，必然可以选择从A点出去。

4.对于题目要求加入的边（真边），建立虚拟节点P，在B中把出区间拆成logn份，分别连接到P点，边权为0

　　在A中把入区间拆成logn份，点P分别连接到这些区间，边权都是val

　　（当然，边权可以反过来）

然后跑最短路即可。

边数：O(2*2*n+m*logn*2)

点数：O(2*2*n+m)

 

模板题：CF786B

 

当然，也要解决一些其他抽象的问题：

 

[POI2015]PUS

 

以及炸弹：

bzoj 5017 炸弹 线段树优化建图+tarjan+拓扑排序