[学习笔记]高维前缀和FMT
我们经常要用到前缀和。
一维：
for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=b[i-1]+a[i];
二维：
for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) b[i][j]=b[i-1][j]+b[i][j-1]-b[i-1][j-1]+a[i][j];
那如果是三维的呢？
for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) for(int k=1;k<=p;k++) b[i][j][k]=b[i-1][j][k]+b[i][j-1][k]+b[i][j][k-1] -b[i-1][j-1][k]-b[i-1][j][k-1]-b[i][j-1][j-1] +b[i-1][j-1][k-1]+a[i][j][k];
其实就是一个容斥。
但是，随着维度t变高，容斥的复杂度是2^t，总复杂度O(n^t*2^t不能承受。
我们还有一个方法：
一维：
for(int i=1;i<=n;i++) a[i]+=a[i-1];
二维：
for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) a[i][j]+=a[i][j-1]; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) a[i][j]+=a[i-1][j];
这个意思就是，第一遍前缀和，每个位置a[i][j]是，i行前j个的和。
第二遍，就把前面所有行的和加过来了。
分两遍达到目的。看似麻烦。
那三维呢？
for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) for(int k=1;k<=p;k++) a[i][j][k]+=a[i-1][j][k]; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) for(int k=1;k<=p;k++) a[i][j][k]+=a[i][j-1][k]; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) for(int k=1;k<=p;k++) a[i][j][k]+=a[i][j][k-1];
其实和二维的理解是一样的。再来一遍，把第三维的和加过去。
但是，这个三维只要3次，也就是说，对于t维，其实只要O(n^t*t)复杂度就很低了。
其实我们实际解题中，经常用的是n=2的情况。
比如，
例题：
1.部分和（牛客网NOIP赛前集训营-普及组（第四场））部分和
输入一个长度为n的数组a[i]，下标从0开始（0到n-1）
保证n是2的整数次幂，
对于每个i (0 <= i < n)
求所有满足((i & j) == j)的a[j]之和。
保证n是2的整数次幂，
对于每个i (0 <= i < n)
求所有满足((i & j) == j)的a[j]之和。
n<=2^20
即，求每个i的子集和。
如果n=2^6,如果把i的二进制的表示：10101看做一个5维坐标的话，
那么，i的子集就是这个坐标的高维前缀和。
可以发现，每个维度的n都是2，
这就比较好处理了。
如果是一般的：w表示最高维度：
for(int i=0;i<w;i++){ for(int j=0;j<(1<<w);j++){ if(j&(1<<i)) f[j]+=f[j^(1<<i)]; } }
理解一下，就是先处理前i-1位是子集的所有位置的和，对于第i位，前i位是子集的要么第i位是0，要么第i位是1，
第i位是0的话，权值就是f[j^(1<<i)]，（后面的维度坐标一定要一致。）
本题：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int N=(1<<21); ll a[N]; int n; int main(){ scanf("%d",&n);int p=0; for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lld",&a[i]); for(int i=1;i<n;i<<=1){p++; for(int j=0;j<n;j++){ if((j&(1<<p-1))) a[j]+=a[(j^(1<<p-1))]; } }for(int i=0;i<n;i++) printf("%lld\n",a[i]);return 0; }
复杂度和高维前缀和一样；O(2^t*t)
upda：2019.3.18
可以代替FWT的and和or卷积，只要"IFMT"一下（就是反着做）即可
复杂度相同，
upda：2019.4.17
实际上
FMT很辣鸡
相比之下，FWT做的事情完全包含FMT，并且常数是FMT的1/2！
[WC2018]州区划分（这个题我人傻常数大，必须用FWT卡常才能过）
所以还是写FWT吧
