板板题——预处理+矩阵+定义新运算

板板题：

• 给出一张有向图，每个点有得分
• 每次经过一个点你就可以获得它的得分（是正数）（多次计算）
• 你可以走 𝑚 步，然后选择其中连续的一段不超过 𝑙 的时间，将这
一段的时间的得分翻倍
• 一旦不能走了就必须停止
• 求最高得分
• 𝑛 ≤ 300, 𝑙 ≤ 𝑚 ≤ 109

题解：

这个l时间挺复杂。如果没有它呢？

首先我们可以dp，f[i][j]表示，在i点，走了j步，最大得分。

不能走了必须停止，那么如果i没有出点，就直接转移到f[i+1][j]，也相当于走一个自环。

把自环连上，然后可以矩阵乘法优化。

 

但是这个l非常棘手啊。

首先由于点权都是正数，所以一定l次翻倍最优。

并且，这l步怎么走和之间的收益没有关系，是独立出来的。而且连续。

 

设点数没有翻倍的转移矩阵是A

那么，我们可以处理一个点数翻倍的转移矩阵B

ST*(B^l)，中的每个点的值就是从i到j经过l步走到的最大收益。

但是，从哪一步开始走这l步呢？

即，我们要求：$\sum_{i=1}^{m-l-1} A^i*B^l*A^{(m-l-1-i)}$

其中，求和表示按位求最大值，*表示矩阵乘法

设$M=B^l$

那么，我们要求：$\sum_{i=1}^{T} A^i*M*A^{(T-i)}$

直观来讲，就是考虑把i个A放在M左边，T-i个A放在M右边。

直接枚举还是爆炸！

T是1e9的。

能不能设计一个快速幂求出来呢？

但是很显然，直接矩阵乘法无法转移。

所以，看来要定义新运算了。

 

以下开始重点（划重点！）：

维护一个数对(L,R)，其中，(L0=M,R0=A)，0表示0次方，即初始状态。

我们定义：

一个位置可能不够了，所以要定义一个pair(matrix,matrix)

构造思路，能够从$(L,R)^T$中找到答案。

按位取max操作必须能覆盖所有的$AA...MAA...$

而且能用固定的运算得到答案。

而且必须有结合律，以便支持快速幂

于是我们定义：

$(L_i,R_i)\bigodot(L_j,R_j)=(L_i*R_j+R_i*L_j,R_i*R_j)$

其中，$\bigodot$是定义的新乘法符号。*表示矩阵乘法。+表示二者按位取max

那么，我们要求的是：

$(L_k,R_k)=(L_0,R_0)\bigodot(L_0,R_0)\bigodot(L_0,R_0)...$

可以发现，每次的$R_i*R_0$到后面就是$A^{i+1}$

而，我们所关心的$L$

$L_i*R_0$把之前的所有AAM,AMA,MAA后面加了一个A

然后，$R_i*L_0$又得到了AAAM，

其实就已经遍历了AAMA,AMAA,MAAA,AAAM

其实本质就是一个数学归纳法，可以证明：

我们遍历了$\sum_{i=1}^{T} A^i*M*A^{(T-i)}$

按位取max是成立的，因为从不同点出发，可能最优情况下选择的翻倍位置是不同的。

所以新运算是正确的。

因为，我们就是在凑一个$AA...MAA...$

由于我们考虑了把AAAA放在的所有位置。

所以这个运算有结合律。

就可以快速幂啦~！