[ZJOI2011]细胞——斐波那契数列+矩阵加速+dp

Description

bzoj2323

Solution

题目看起来非常复杂。

本质不同的细胞这个条件显然太啰嗦，

是否有些可以挖掘的性质？

 

1.发现，只要第一次分裂不同，那么互相之间一定是不同的（即使总数目相同）。

所以先考虑第一次分裂后，一个固定小球体数量的情况：

2.第一次分裂后，最后的小球体数量固定。想要方案数不同，必须连接方式不同。

可以列出dp式子，f[n]（以n结尾砍一刀）=f[n-2]+f[n-3]+...+f[2]+f[0]，而f[0]=1,f[1]=0

而fibo[n]-1=f[n-2]+...+f[1]

可以猜想和斐波那契数列有关。

实际上，f[n]=fibo[n-1],f[1]=0,f[0]=1

所以，如果我们知道第一次分裂的方案，

即S=a1+...+am（分成m段，ai表示这一段拼成的数字）

那么，f[S]=fibo[S-1]

 

好了，

所以，题意其实是：

• 给出一个数字序列
• 你要先把序列切成很多段，把每一段看做一个十进制数
𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑚
• 你要求每一种分割方案的 Fib （𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑚 ）的和
• 𝑛 ≤ 1000

现在我们的问题就是怎样快速统计这些所有fibo的和。

设f[i]表示，前i个，i后劈一刀，所有产生的Fib （𝑎1 + ⋯ + 𝑎k ）的和。

 

由于矩阵有结合律和分配律，

Fibo[i]=Start*(M^j*M^(i-j))（M是转移矩阵）

我可以把f用矩阵表示

经典n^2的dp

然后，我们要快速统计M^(num[j...i])

直接每次高精精快速幂？？（逗笑）

 

根据套路，可以利用j每次向左走一位，在路上利用之前的基础统计出num[j...i]

那么，我么就要知道所有的K=a*10^p，M^K可以预处理。

然后直接M^num=M^(K+old)=M^k*M^old

即可统计出num[j...i]

 

转移的时候，f[i]+=f[j]*M^(num[j+1...i])即可，因为乘法分配律，dp式子成立。

注意下，f[S]=Fibo[S-1]

所以，其实f[0]=[0,1,0,0]（写成矩阵）

总之，如果j==0，那么这个段是第一段，直接把这个1减掉。相当于对矩阵乘一个逆

 

代码：

（注意，逆矩阵：[mod-1,1,1,0]而不是[-1,1,1,0]。不要爆负数）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1005;
const int mod=1e9+7;
int n;
char s[N];
struct tr{
    ll a[3][3];
    void pre(){
        memset(a,0,sizeof a);
    }
    void init(){
        a[1][1]=a[2][2]=1;
    }
    tr operator *(const tr &b){
        tr c;c.pre();
        for(int i=1;i<=2;i++)
         for(int k=1;k<=2;k++)
          for(int j=1;j<=2;j++)
           c.a[i][j]=(c.a[i][j]+a[i][k]*b.a[k][j])%mod;
        return c;
    }
    tr operator +(const tr &b){
        tr c;c.pre();
        for(int i=1;i<=2;i++)
         for(int j=1;j<=2;j++)
          c.a[i][j]=(a[i][j]+b.a[i][j])%mod;
        return c;
    }
    void op(){
        cout<<endl;
        for(int i=1;i<=2;i++){
            for(int j=1;j<=2;j++){
                cout<<a[i][j]<<" ";
            }cout<<endl;
        }
        cout<<endl;
    }
}B[10][1005],f[1005],A,C,D;
tr qm(tr c,ll y){
    tr ret;ret.pre();ret.init();
    while(y){
        if(y&1) ret=ret*c;
        c=c*c;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
void prewrk(){
    for(int i=0;i<=9;i++) B[i][0]=qm(A,i);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=9;j++){
            B[j][i]=qm(B[j][i-1],10);
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    A.a[1][1]=0;A.a[1][2]=1;A.a[2][2]=1;A.a[2][1]=1;
    D.a[1][1]=mod-1;D.a[1][2]=1;D.a[2][1]=1;D.a[2][2]=0;
    prewrk();
    scanf("%s",s+1);
    //cout<<" hh "<<endl;
    f[0].a[1][2]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        C.pre();C.init();
        //cout<<i<<"------------"<<endl;
        for(int j=i-1;j>=0;j--){
            //cout<<s[j+1]-'0'<<endl;
            C=C*B[s[j+1]-'0'][i-j-1];
            //C.op();
            //cout<<">>"<<endl;
            if(j==0) C=C*D;
            tr tmp=f[j]*C;
            f[i]=f[i]+tmp;
            //cout<<" f[i] "<<endl;
            //f[i].op();
        }
    }
    printf("%lld\n",f[n].a[1][1]);
    return 0;
}