分块——优化的暴力
对于很多的题目，我们都可以找到n^2的暴力算法。
但是，当n在10000到200000之间的时候，n^2基本稳稳卡掉。
发现，这样的题目，经常还与区间有关系的时候，可以考虑分块做法。
分块，顾名思义，就是把待处理的整个大区间分成若干块。
口诀是：块外暴力，块内查表。
那么这个块的大小应该怎么分呢？？
应该是sqrt(n)大小。
证明：
大概是：如果块大小为k，那么块内查表可能是n/k，然后块外暴力是k的，
要平均一下，n/k=k,那么，k=sqrt(n)最优。
这样，块内处理，和块连在一起处理，都是sqrt(n)的。
自我感觉，分块很巧妙的把各种复杂度都向sqrt(N)靠近
发现很多的题，都是时间复杂度n根号n，空间复杂度也是n根号n
而且不管是什么操作，基本上都是根号n。既没有n^2，也不存在O(1)
感觉，巧妙地把复杂度平均了一下。
分块虽然是暴力，但是是一种非常有水平的暴力。
关键是状态的设计，怎样达到块外暴力，块内查表。
大概的感觉是，都要围绕块来进行设计。
而且，通常要有两个以上函数状态有机配合。。。
例题1：BZOJ 4241历史研究
Description：
一句话题意：求区间加权众数。
Solution：
f[i][j]表示从第i块开头到j的最大值 （查询的时候，块内查表）
cnt[i][j]表示从第i块开始到序列末尾j出现了多少次（便于暴力中的后缀差分）
边角余料处理一下就好啦~
Code：
一般情况下，对于块的左右端点有两种求法。
1.lower_bound(blo+1,blo+n+1,blo[x])块的左端点。
lower_bound(blo+1,blo+n+1,blo[x]+1)块的右端点+1
2.处理块的时候，直接结构体记录块的左右端点。（推荐）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100050;
const int B=333;
ll f[B][N],cnt[B][N];
int a[N],b[N],tot;
int num[N],sta[N],top;
int blo[N],BLO;
int n,m;
ll ans;
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
BLO=sqrt(n);
for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]),blo[i]=(i-1)/BLO+1,b[i]=a[i];
sort(b+1,b+n+1);tot=unique(b+1,b+n+1)-b-1;
for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=lower_bound(b+1,b+n+1,a[i])-b;
for(int i=1;i<=blo[n];i++){
ll now=0;
for(int j=lower_bound(blo+1,blo+n+1,i)-blo;j<=n;j++){
cnt[i][a[j]]++,now=max(now,(ll)cnt[i][a[j]]*b[a[j]]),f[i][j]=now;
}
}
int xx,yy;
while(m--){
scanf("%d%d",&xx,&yy);ans=f[blo[xx]+1][yy];
int tmp=lower_bound(blo+1,blo+n+1,blo[yy])-blo;top=0;
for(int i=tmp;i<=yy;i++) num[a[i]]++,sta[++top]=a[i];
tmp=lower_bound(blo+1,blo+n+1,blo[xx]+1)-blo;
for(int i=xx;i<tmp;i++){
num[a[i]]++;sta[++top]=a[i];
ans=max(ans,(ll)((ll)num[a[i]]+cnt[blo[xx]+1][a[i]]-cnt[blo[yy]][a[i]])*b[a[i]]);
}
for(int i=1;i<=top;i++)num[sta[i]]=0;
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
例题2：[HNOI2010]弹飞绵羊
Description：
某天，Lostmonkey发明了一种超级弹力装置，为了在他的绵羊朋友面前显摆，他邀请小绵羊一起玩个游戏。游戏一开始，Lostmonkey在地上沿着一条直线摆上n个装置，每个装置设定初始弹力系数ki，当绵羊达到第i个装置时，它会往后弹ki步，达到第i+ki个装置，若不存在第i+ki个装置，则绵羊被弹飞。绵羊想知道当它从第i个装置起步时，被弹几次后会被弹飞。为了使得游戏更有趣，Lostmonkey可以修改某个弹力装置的弹力系数，任何时候弹力系数均为正整数。
Solution：
（LCT裸题，我们不管这个，因为我不会）
（upda2018.11.14：现在会了，LCT请见[学习笔记]动态树Link-Cut-Tree）
发现，直接枚举是n^2的。但是，许多的位置出发，可能会走到同一个位置，再跳出去。
类似于记忆化的思想。
假如设f[i]表示，从i开始，跳f[i]步出去。预处理倒序O(n)即可
查询是O（1）的。
但是一旦修改了，就会整个前面的f都会变。就凉凉了。。
要是修改只改一部分就好了。
即使查询不是O(1)也没关系啊。
分块，就来把这两个复杂度平均一下，都变成sqrt(n)
维护f[i],g[i]
f[i] 表示跳几次可以跳出所在块
g[i] 表示跳出所在块后到达的位置。
在查询时，我们O(sqrt(n))的时间进行“整块”的模拟，可以得到结果。
这样，我们以块为单位，出了块就交给别人去管就可以了。
f，g的巧妙搭配，使得查询只需要模拟即可！！
而且，修改时，只有块内收到了影响。暴力倒序修改即可。
Code：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200000+10;
int n,m;
int BLO,blo[N];
int f[N],g[N];
int a[N];
int ans;
struct node{
int l,r;
}kua[N];
int main()
{
scanf("%d",&n);BLO=sqrt(n);
for(int i=1;i<=n;i++) {
scanf("%d",&a[i]),blo[i]=(i-1)/BLO+1;
if(!kua[blo[i]].l) kua[blo[i]].l=i;
kua[blo[i]].r=i;
}
for(int i=1;i<=blo[n];i++){
for(int j=kua[i].r;j>=kua[i].l;j--){
int to=j;
while(to<=kua[i].r){
if(!f[to]) to=to+a[j],f[j]++;
else f[j]+=f[to],to=g[to];
}
g[j]=to;
}
}
scanf("%d",&m);
int op,x,y;
while(m--){
scanf("%d%d",&op,&x);x++;
if(op==1){
ans=0;
int to=x;
while(to<=n){
ans+=f[to];
to=g[to];
}
printf("%d\n",ans);
}
else{
scanf("%d",&y);
a[x]=y;
for(int i=kua[blo[x]].r;i>=kua[blo[x]].l;i--){
f[i]=g[i]=0;
int to=i;
while(to<=kua[blo[x]].r){
if(!f[to]) to=to+a[i],f[i]++;
else f[i]+=f[to],to=g[to];
}
g[i]=to;
}
}
}
return 0;
}
upda:2018.9.22
以上两个题都是关于序列分块。
其实，我们可以分块的不止是序列这个东西。
还可以是抽象的。
比如，把询问的模数p分块。
p<=sqrt(n)，余数<=sqrt(n)
p>sqrt(n)，x=p*k+v的k也<=sqrt(n)
也是一种平均一下复杂度，达到msqrt(n)的均衡。
例题：9.22模拟赛 经典的区间mod p=v的个数查询
静态无修O(nsqrt(n))区间逆序对
逆序对两种求法：树状数组，归并排序
后者如果在已经排好序的情况下，只要O(元素个数）即可完成逆序对统计~！
然后对权值离散化，
1.每个块开一个桶维护根号个权值
2.以及每个位置的值在所在块的排名
块内查询：预处理每个位置到块头的贡献，差分，再处理[u,l-1][l,r]的贡献（桶排+归并）
整块之间：f[l,r]=f[l,r-1]+f[l+1,r]-f[l+1,r-1]+calc(l,r)，calc(l,r)归并
散块和整块：预处理每个位置对整块的影响（前面的，后面的），做一个后缀和/前缀和。然后枚举每一个散块，对所有整块影响用后缀和/前缀和差分即可
散块和散块：归并
带修O(nsqrt(n))区间第K大
（大概值域不能太大，因为带修改就不能离散化了。。。）
序列分块，值域也分块！
每个块维护S[i]，块内权值i*S~(i+1)*S-1的个数，以及S2[i]，块内值为i的数的个数
枚举权值在哪一块，确定之后再枚举权值是哪一个。
跨越块，S开成前缀和的，零散部分暴力处理S和S2
（可能也就带插入区间K小值配合块状链表用用了，别的时候树状数组套线段树就可以了）
