[SDOi2012]longge的问题

题意：

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

对于100%的数据，0<N<=2^32

 

题解：

（网上全部都是欧拉函数解法（甚至还有莫比乌斯反演？？））

像我这种蒟蒻就真的想不到了。

 

我就用容斥解决了这道题。

既然要考虑gcd，而且不能暴力，就肯定要把n质因数分解了。

n=p1^q1 * p2^q2 *... * pk^qk

gcd(a,b)的本质是：把a质因数分解，b质因数分解，对于每一个质因子，系数取min再相乘就是gcd

所以考虑一下n的所有因数。（远远不到sqrt（N）个，网上有说ln(n)??）

对于每一个因数p=p1^d1 * p2^d2 *... * pk^dk，它在n以内的倍数都有p，

但是，假设d1<q1时，同样是 p1^(d1+1) * p2^d2 *... * pk^dk的倍数的数，gcd就不是p了。

同理，每一个系数d如果能够加1，那么这个新因数的倍数们与n的gcd 就不是现在的p了。

 

我们把p的每一位的系数d分别能加1就加1，构造一个新数M，M的倍数就是一些不由p贡献的数。

把所有这些M的倍数减去，但是，最小公倍数们又减多了。再加上2个lcm，加上3个lcm们。。。。。。。

这就是容斥啦。

因为，2^32以内的一个数的不同质因子，最多只有10个（2*3*5*7*11*13*17*19*23*29 > 2^32）

所以，每次就2^10容斥一下，一定不会tle~！！！！！！！！！！！！！！

 

就这样，两个dfs。一个枚举因数，一个用这个因数容斥。

复杂度上限：O（因数个数*（2^10））

比网上一般的欧拉函数做法 O（因数个数* sqrt（n））的做法要快。

（2018.8.10补充：而且，对于gcd(n,1~m)的和,其中m远远大于n，也可以这样做！！！网上的方法就不行了。）

（upda：2019.3.22:之前太辣鸡了，反演是容斥的超集）

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n;
ll has[20],cnt;
ll ans;
struct node{
    ll num,mi;
}c[20];
ll tot;//sum of primes
ll sum=0;
void sol(){
    ll k=n;
    for(ll i=2;i*i<=n;i++){
        if(k%i==0){
            c[++tot].num=i;
            while(k%i==0) c[tot].mi++,k/=i;
        }
    }
    if(k!=1) c[++tot].num=k,c[tot].mi++;
}
void dfs1(int x,int cnt,ll digi){
    if(x==tot+1){
        if(cnt&1) sum-=n/digi;
        else sum+=n/digi;
        return;
    }
    dfs1(x+1,cnt,digi);
    if(has[x]<c[x].mi) dfs1(x+1,cnt+1,digi*c[x].num);
}
void dfs2(int x,ll now){
    if(x==tot+1){
        sum=0;
        dfs1(1,0,now);
        ans+=sum*now;
        return;
    }
    ll to=1;
    for(int i=0;i<=c[x].mi;i++){
        has[x]=i;
        dfs2(x+1,now*to);
        to*=c[x].num;
    }
}
int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    sol();
    dfs2(1,1);
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}