[NOI2015]寿司晚宴——状压dp
题目转化:将2~n的数分成两组,可以不选,使得这两组没有公共的质因子。求方案数。
选择了一个数,相当于选择了它的所有质因子。
30分:
发现,n<=30的时候,涉及到的质因子也就10个。2,3,5,7,11,13,19,23,29
直接状压。f[i][A][B] 前i个数,第一个人的质因子选择状态A,第二人B,的方案数。(第一维可以滚动,当然,可以倒序循环直接省略)
每个数质因数分解,前八个质因子,压成二进制数,转移直接按位或。
100分:
质因子太多状压不了。
公理:一个数>=sqrt(n)的质因子最多只有一个。(显然啊,否则质因数分解就超过了n)
所以,对于最大质因子>=sqrt(n)的数,根据最大质因子分类,质因子相同的,要么都考虑进入A,要么都考虑进入B,要么都不选。
设g[0/1][A][B]表示这一阶段,数字都考虑进入A/B的方案数。初值和f一样。
最后,f[A][B]=g[0][A][B]+g[1][A][B]-f[A][B] 因为,所有数都不选的方案计算了两次,所以减一次。
对于最大质因子<sqrt(n)的数,直接根据上面的转移就好。
统计答案时,选择A&B=0 的方案数。
具体看代码:(luogu要开O2)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=500+10;
int n,mod;
struct node{
int has;
int z;
}num[N];
bool cmp(node a,node b){
return a.z<b.z;
}
ll ans;
int zh[N],cnt;
int ps[N],tot;
int vis[N];
bool in[N];
void sieve(){
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!vis[i]){
tot++;ps[tot]=i;
vis[i]=i;
}
for(int j=1;j<=tot;j++){
if(i*ps[j]>n) break;
vis[i*ps[j]]=ps[j];
if(i%ps[j]==0) break;
}
}
}
void sol(int x){
cnt=0;
int kk=x;
for(int i=1;i<=tot;i++){
if(x%ps[i]==0){
zh[++cnt]=i;//prime's id
while(x%ps[i]==0) x/=ps[i];
}
}
for(int i=1;i<=cnt;i++){
if(zh[i]>8) num[kk].z=zh[i];
else num[kk].has|=(1<<zh[i]-1);
}
if(!num[kk].z) num[kk].z=1;
}
ll f[1<<8][1<<8];
ll g[2][1<<8][1<<8];
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&mod);
sieve();
for(int i=2;i<=n;i++)sol(i);
sort(num+2,num+n+1,cmp);
f[0][0]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(num[i].z==1){
for(int A=(1<<8)-1;A>=0;A--)
for(int B=(1<<8)-1;B>=0;B--){
f[A|num[i].has][B]=(f[A|num[i].has][B]+f[A][B])%mod;
f[A][B|num[i].has]=(f[A][B|num[i].has]+f[A][B])%mod;
}
}
else{
int zz=num[i].z;
memcpy(g[0],f,sizeof f);
memcpy(g[1],f,sizeof f);
while(num[i].z==zz&&i<=n){
for(int A=(1<<8)-1;A>=0;A--)
for(int B=(1<<8)-1;B>=0;B--){
g[0][A|num[i].has][B]=(g[0][A|num[i].has][B]+g[0][A][B])%mod;
g[1][A][B|num[i].has]=(g[1][A][B|num[i].has]+g[1][A][B])%mod;
}
i++;
}
i--;
for(int A=(1<<8)-1;A>=0;A--)
for(int B=(1<<8)-1;B>=0;B--){
f[A][B]=((g[1][A][B]+g[0][A][B])%mod-f[A][B])%mod;if(f[A][B]<0) f[A][B]+=mod;
}
}
}
for(int A=0;A<=(1<<8)-1;A++)
for(int B=0;B<=(1<<8)-1;B++){
if((A&B)==0) ans=(ans+f[A][B])%mod;
}
printf("%lld",ans);
return 0;
}
总结:
这个题目其实很巧妙。
思路:
1.互质即没有公共质因子,所以选择一个数就是选择一些质因子。转化题意。
2.30分,发现质因子很小,可以直接状压。
3.100分,发现每个数>=sqrt的质因子最多只有一个。暴力分组考虑,每组内统计都放进A/B的方案。
关键的突破口还是题意的转化。以及第三点。