AT3576 Popping Balls

AT3576 Popping Balls 

好题！一种以前没怎么见过的思路！

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以什么方式，什么位置统计本质不同的方案，才能不重不漏是处理所有计数问题的主心骨。

本题难以容斥。难以DP。

所以就尝试挖掘性质，考虑过程！

首先，红色什么时候都可以选，因为可以选择1

不妨给t定一个位置，先充分利用t，再用s，（如果s先用上了，那么t肯定就没意义了）

考虑每个方案是怎样构造出来的，归到合适的t的位置统计。

不妨直接按照“先拿了x个红的，再拿一个蓝的”为标准统计！

为了能涵盖所有之后的决策，让t位于A-(x-1)位置一定最优！让t拿走这个第一个蓝色

首先t肯定是[1,A+1]的

枚举这个位置t，拿走之后，剩下t-1个红色，B-1个蓝色球

 

现在，之后的连续B-1个球，红色和蓝色可以任意拿！

枚举拿i个红色，贡献C(B-1,i)，剩下t-1-i个红色，i个蓝色

 

t已经废了。

考虑s放在哪里

 

同样的，枚举“再拿了y个红色，再拿一个蓝色”，

枚举这个位置s，拿走之后，剩下s-1个红色，i-1个蓝色

 

现在，之后的连续i-1个球，红色和蓝色可以任意拿！

枚举拿j个红色，贡献C(i-1,j)，剩下若干红色，若干蓝色

 

s也废了

直接一口气拿完即可。

 

由于s和t的位置不能再优秀了，每种方案都一定会考虑到！

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define fi first
#define se second
#define mk(a,b) make_pair(a,b)
#define numb (ch^'0')
#define pb push_back
#define solid const auto &
#define enter cout<<endl
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<class T>il void rd(T &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);(fl==true)&&(x=-x);}
template<class T>il void output(T x){if(x/10)output(x/10);putchar(x%10+'0');}
template<class T>il void ot(T x){if(x<0) putchar('-'),x=-x;output(x);putchar(' ');}
template<class T>il void prt(T a[],int st,int nd){for(reg i=st;i<=nd;++i) ot(a[i]);putchar('\n');}
namespace Modulo{
const int mod=1e9+7;
int ad(int x,int y){return (x+y)>=mod?x+y-mod:x+y;}
void inc(int &x,int y){x=ad(x,y);}
int mul(int x,int y){return (ll)x*y%mod;}
void inc2(int &x,int y){x=mul(x,y);}
int qm(int x,int y=mod-2){int ret=1;while(y){if(y&1) ret=mul(x,ret);x=mul(x,x);y>>=1;}return ret;}
}
using namespace Modulo;
namespace Miracle{
const int N=2003;
int A,B;
int f[N][N];
int C[N][N];
int main(){
    rd(A);rd(B);
    C[0][0]=1;
    int lim=max(A,B)+1;
    for(reg i=1;i<=lim;++i){
        C[i][0]=1;
        for(reg j=1;j<=i;++j){
            C[i][j]=ad(C[i-1][j],C[i-1][j-1]);
        }
    }
    for(reg i=1;i<=lim;++i){
        for(reg s=1;s<=lim;++s){
            f[i][s]=ad(f[i][s-1],C[i-1][s-1]);
        }
        for(reg s=1;s<=lim;++s) f[i][s]=ad(f[i][s],f[i][s-1]);
    }
    int ans=0;
    for(reg t=1;t<=A+1;++t){
        for(reg i=0;i<=t-1;++i){
            if(i!=0) ans=ad(ans,mul(C[B-1][i],f[i][t-i]));
            else ans=ad(ans,1);
        }
    }
    ot(ans);
    return 0;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
*/

emm，首先发现红色随意拿，s，t为拿蓝色而生！先用t再用s，所以自然就考虑到第一个蓝色在哪里。所以考虑到t放在最优位置上更好。然后任意拿，s同上。

式子的化简就很暴力了其实。

有的时候一些计数题，不妨先枚举最前面一部分的构成，尽量早或者尽量优地进行一些决策来不重不漏涵盖情况，所谓字典序最小的位置统计