[题集]图论

生成树

MST?Kruskal过程:贪心、重构树

prufer序列:一般树,森林,有根树,用于DP或者打暴力

Matrix-Tree定理:给定图求生成树个数,邻接矩阵数字表示边权

多次求MST或者多次加边等等:考虑缩点

一些图的问题:找到生成树处理(如Tarjan的dfs树,支配树,最短路树)

1.[Ctsc2014]图的分割 

考虑Kruskal的过程,发现恰好可以直接贪心!

2.51Nod1446 限制价值树 

两部分,折半枚举合法集合,统计生成树个数

3.

最小生成树计数:排序kruskal时候,缩点配合矩阵树

4.[APIO2013]道路费用 

还是枚举哪些边会最终贡献,为了提高效率,进行缩点

5.[HNOI2010]城市建设 

cdq分治,把一定不会在最小生成树的边提前删掉,一定在的提前加上。其实还是缩点提高效率

最短路

常用dij和floyd(spfa)

考虑某些边、点和最短路关系,往往需要统计每个点开始、结束的最短路信息

还有一些建超级汇的操作

最短路树,最短路DAG,或者任意某条最短路都可以做文章

两个源汇的确切路径,考虑分层分步

例题1

你在一个国家旅游,国家可以看做有向图
• 每一条边都有过路费
• 在每一个点,你可以选择花费 𝑝𝑖 购买魔法棒,当你持有魔法棒时,
你所经过的所有边都会永久免费(第一次也不需要付钱),但是
最后你必须把魔法棒放回这个点
• 你可以无限购买魔法棒

每个SCC至少购买一个魔法棒

• 求能经过尽量多的城市的前提下,你所花费的最小代价

 

求SCC,topoDp

对于每个SCC,要知道从某个点开始,走若干个边,然后买魔法棒的最小花费

买魔法棒就停止了,可以当做终止节点

多起点多终点?

每个终点向T连接pi的边,然后从T跑最短路即可

 

 例题2

• 给出一张图,每个点上有很多人,每条边上也有很多重边
• 设一个点的重要程度为

Pr表示概率

• 求每个 v𝑝
• 𝑛 ≤ 3000, 𝑚 ≤ 10000 Vp = §,

cnt(a,b)表示a到b的最短路径条数

直接的式子是枚举p再枚举a,b,O(n^3)

考虑能不能“继承点东西”降低复杂度

 

具体地,枚举A,给所有的p贡献可能的B

对于A,求出A的最短路径DAG

对于一个p,p能到达的节点B,AB的最短路,p都是可行点

但是cnt(p,b)不能分离,看起来还是3次方的

发现,p后面的DAG,恰好一定也是p的最短路径DAG的一部分!

所以倒序topo,每个点T有一个权值T/cnt(A,T),后继贡献直接加起来,cnt(p,b)自然就得到了

例题3:

• 给出一张 DAG,求出有多少点对 𝑎, 𝑏,使得任意从 𝑠 到 𝑡 的路径

都恰好经过 𝑎, 𝑏 中的任意一点

• 𝑛, 𝑚 ≤ 100000

考虑两个点a,b合法的充分必要条件:

1.a,b互不可达

2.cnt[s][a]*cnt[a][t]+cnt[s][b]*cnt[b][t]=cnt[s][t]

topo搞到拓扑序和cnt,

把val[*]=cnt[s][*]*cnt[*][t]进行离散化,开值域个bitset

倒序考虑拓扑序,枚举a

bitset处理可以到达的集合S

得到val[b]的值,S取反,和这个val[b]的bitset取交,交的个数就是贡献

然后把val[a]的a位置设置为1

这样就保证了a,b互不可达

例题4

给出一棵树,边权为正
随机选出 𝑘 个关键点,然后选择一种移动总距离最短的方案,从
其中某个点出发,经过每个关键点至少一次
求出移动总距离最短的方案的期望
𝑛 ≤ 500

 

总距离最短:虚树总边长*2-直径

虚树总边长*2:考虑边的贡献,两边一共选择k个

直径:支持单点增量

不妨直接枚举直径(a,b),考虑对应的点集个数

如果(a,b)加入p之后合法,也即max(dis(p,a),dis(p,b))<dis(a,b),那么p可以加入

这样从所有能加入的p中选择k-2个即可得到所有的方案数

但是一个虚树多个直径可能算重

方法:

每个边(u,v)不妨u<v ,有额外权值:2^(-u),

这样,一个虚树直径一定会在字典序最小的位置被求恰好一次,就完全分开了

例题5

给出一张有向图,每条边上有数字
对每一对点对 𝑥, 𝑦 ,求从 𝑥 到 𝑦 的最短的回文路径
𝑛 ≤ 500, 𝑚 ≤ 10^5

类似[HNOI2019]校园旅行

分成两步走

f[a][b]表示a到b的最短路

每次让a走一步

g[a][b][char]表示该b走了,a上一步走的字符是char的最短路

例题6

CF1163F Indecisive Taxi Fee

删边最短路

 

差分约束

如果能从题目中找到二元一次不等关系,即可差分约束

可以求一组最值解或者判断有无解

是数形结合的思想

可能无解,所以时而还配合于二分

 

例题1

 51nod地铁环线

可行的总长是一段区间

考虑二分总环长+SPFA判定

 先找右端点,再找左端点,

问题是不合法的时候mid是大还是小

以最短路为例,x=mid

每个边权值可以看做:kx+b

如果一个负环总和为Kx+B<=0

根据K的正负即可判定x过大还是过小

K=0显然就无解了。

例题2

THUSC2018

圆环上有 𝑚 对蓝点,每一对蓝点之间连了一条强度为 𝑘𝑖 的线段
你需要在切割若干次,每次是用一条直线切割所有经过的线段
如果一条线段被切割超过 𝑘𝑖 次,它就坏了
求至少要切割几次
𝑛 ≤ 3000, 𝑚, 𝑘𝑖 ≤ 10000

每个线段两侧都至少>=k个切割点

对于所有的切割点,i和i+tot/2进行连边

每个线段也会恰好被切割k次

同上题

甚至直接二分即可,不用Kx+b

拓扑排序

DAG是具有优美性质的图

topo排序是分层图的思想

topo序的先后含有一些到达关系

例题1

给出一张无向图
求一个最大的子图,使得每个点的度数都不小于 𝑑
𝑛 ≤ 10^6

不断删除度数小于d的点即可

例题2

两个人在 DAG 上走,每个人都有自己的起点和终点
求两个人不经过一条边的方案数(这里不经过同一条边指的是:路径的边没有交集)
𝑛, 𝑚 ≤ 1000

类似:[HNOI2019]校园旅行

还是分层变成回合制。使得多了一些可以共用的中间状态

f[a][b]表示达到(a,b)的方案数

每次topo序小的先走

不经过同一条边?不能连续(i,i)->(j,j)

所以,中间变量g[a][b][0/1]表示一个走到a,一个走到b,上一次是否位置相同的方案数

O(nm)

例题3

[POI2014]RAJ-Rally

topo序好题

 

2-SAT

 [学习笔记]2-SAT 问题

命题蕴含关系

各种优化建图

例题1

网络流

过于博大精深

度数回路上下界:先走完限制,再调整

范围较小的值域限制:切糕割

且关系的收益,或关系的花费:每个关系建新点

二元或关系的收益,且关系的花费:隔断含义反转,二元关系最小割。(前提:涉及的点对构成二分图(这个“点”也可以是集合的且,详见例题4))

一些依赖的带点权最大化问题:最大权闭合子图

匹配问题的DP:网络流的匹配关系可以优化DP,否则只能状压DP

如果有些东西一定会被计算:整体+权值可以把负权变成正权

各种网格、横纵等:都具备一定二分图性质,翻转连边,匹配

还有一些特殊题型和翻转

例题1

给出一张无向图,每条边有一个次数限制
你需要找一条总长度尽量短的可以不是简单路径的回路,使得它
经过每条边至少那么多次
𝑛 ≤ 500

直接干掉下界

回路?每个点度数为2

两点之间走一条路径,只会使得起点终点度数奇偶改变

考虑奇度数节点,两个奇度数节点之间连接距离长度的边权

找一个最小权完美匹配即可

例题2

给出若干个定义在[0, 𝑚] 的分段一次函数
请你把这些一次函数分成最少若干个组,使得每个组内的一次函数两
两不相交

n<=250

不相交关系,形成DAG,求最小链覆盖即可

例题3

文理分科

经典且或关系问题

例题4

有一个网格,每个格子你可以决定买不买
如果你买了一个格子,就要花费其价格
如果你买了一个格子,或者买了和这个格子相邻的所有格子,你
可以获得这个格子的收益
最大化收益减去价格

n,𝑚 ≤ 100 

或有贡献,发现正是二分图!

含义反转,贡献关系单独表示成点

本质上还是两个“点”的或关系,一个满足有收益

这样建图:

黑白染色成为左右部点

ans+=所有收益

S到左部点cosi,右部点到T连cosi

由于共同收益和单点购买的收益一样,所以每个点像上图一样连好关系

这样只要左边都选,或者这个点选择,那么这个收益就可以保留,否则收益必须割掉 

 

例题 5

[校内练习]Trip

例题 6

弯弯国

• 给出一张网格图,网格上有一些障碍
• 你需要给每个没有障碍的网格放一个恰好连接网格的两条边的轨
道,同时使得这个轨道的两端都和其他轨道的两端相连
• 在一些格子里生活着一些弯的人,他们希望能让自己所在的格子
里的铁轨是弯的
• 求最多能满足多少弯人的要求
• 𝑛, 𝑚 ≤ 50

有点类似「清华集训 2017」无限之环

把所有弯的贡献都加上

直有花费

弯?一个向上下,一个向左右

直?都向上下,或者都向左右

拆边费用流!

上面两个点连接上、下

下面两个点连接左、右

这样直一定有惩罚,弯不会有惩罚!

最小费用最大流!

例题7

真实·网络流优化DP

• 在树上选出两个尽量大的不相交的同构的连通块
• 𝑛 ≤ 50

同构?
枚举边
一半的根就是边的端点,枚举另一半的树根
有根树,f(i,j)i为根,j为根的最大连通块,对于du^2的儿子进行带权最大匹配

O(n^7)
发现,可以记忆化!
因为另一半树根变化,其他的边只是方向变化
f(e,j)一半边e(带方向),确定根的一半的j的子树
可以记忆化
O(n^6)

非常不完全n^6,可过

例题8

在地图上有一些敌人,每个敌人有一个消灭可获得的价值
地图上还有很多的发射器,每个发射器有最大的射程限制,同时
有一个朝向,保证没有面对面的发射器
你可以对每个发射器指定一个射击距离,这个发射器就会消灭发
射器朝向的这个方向的、距离恰好为这个射击距离的敌人,但是
要求两个发射器射击时经过的格子不能相交
求最多能消灭多少价值的敌人

𝑛, 𝑚 ≤ 50

范围很小,还有限制,考虑切糕割

但是这里的收益很难都算上然后扣去

但是由于每个发射器都要发射一定是最优的

所以每个边的流量是-v(i,j)+M,M是这一行的价值和

考虑用inf边限制不能相交,只用考虑横和纵

若x>=a,则y<b,若y>=b则x<a

如果连边都是同一个方向,一个更小反而不合法

由于横纵二分图,把横反过来连边

即可

 

例题9

给出一棵树,然后给树上每一条边染色,要求每个点的出边颜色
互不相同
• 最小化每条边所染颜色的编号和
• 𝑛 ≤ 150

设f[i][c]以i为根子树,father到i的边的颜色是c的最小编号和

颜色互不相同?匹配!

枚举f[i][c]

S-每个儿子-分别连每个颜色c+f[soni][c]的边-每个颜色连到T边权为1

最小费用最大流

O(n*m*dinic)

 

例题10

• 给出一张无向图
• 请你往图上加一些边
• 加完边后,设点 𝑝 的距离是dp,那么总得分是 ∑c(p,dp)
• 最大化得分

𝑛 ≤ 50

其实最后只要满足,对于原来有边相连的点对(x,y)最后必然有|disx-disy|<=1

所以切糕割即可

一定有一种方案还原

例题11

[CQOI2014]危桥

另类网络流

 

例题12

给出一张无向图,每条边有一个经过时间
• 现在有 𝑐 个乘客,它们分别在第 𝑝i个点,并且都想前往点 1
• 所有人都只想走一条最短路,并且同时从起点出发
• 如果两个人同时同向经过同一条边,那么堵塞了,不合法
• 请你求出一个尽量大的乘客的子集,使得不会出现拥塞

找最短路径图
最短路不同,不会堵塞
对于最短路相同的所有人,分别跑一遍最大流

 

posted @ 2019-05-12 09:58  *Miracle*  阅读(318)  评论(0编辑  收藏  举报