来自多校的一个题——数位DP+卡位

n<=1e9就要考虑倍增、矩阵乘法这种了

 

假设L=0

考虑枚举二进制下，所有X与R的LCP长度，前len高位

对于第len+1位，假设R的这一位是1

如果一个x的这一位是0了，那么后面可以随便填

我们就钦定一个len+1位是0的x0来挽救，别的随便填，最后距离K差多少，就让这个x0来变成这个数

而且，为了不重不漏，len必须是这些x的“LCP”，所以必须有两个x第len+1位不同（所以其实R的len位是0的len可以直接跳过没有意义）

外层枚举LCP，内层我们DP：

f[i][0/1][0/1]前i个x，第len+1位的xor是多少，有没有一个x第len+1位是0

转移：

对于x第len+1位是0：

　　f[i+1][t][1]<- f[i][t][1]*(1<<(blabla))+f[i][t][0]（如果原来没有len+1位是0的，就让这个来充当最后挽救的，只有一种选择，所以边权是1）

否则:

　　f[i+1][t^1][1]<-f[i][t][1]*(blabla)

　　f[i+1][t^1][0]<-.......................同上

矩阵快速幂即可

当然还要判断前len位都是卡着R，所以R的前len位n次xor起来必须是K的高位部分

 

有L呢？

首先，对于LCP(L,R)=T，所有的x都是一样的

之后第T+1位，L=0，R=1，如果x选择0，那么上界就不存在了卡L走，否则下界不存在了卡R走

当再次和“界”不同的时候，x就“自由”了

所以，枚举所有x中"第一个自由的x自由的位置len（从高到低）"以此统计答案

内层DP：

f[i][0/1][0/1][0/1]

前i个x，奇数/偶数个上界（为了最后统计能不能到K），自由那一位的xor是0/1,有没有一个x自由了

转移同理。矩阵乘法

 

 

总结：

在二进制的运算下，不光比较大小简单，而且不进位，所以高位枚举LCP就是很好的方法。

而数据有上下界，卡位使得可以“自由”，“自由”后就随便填了

最后留下一个x挽救，使得能够存在一种可以xor出K的方案！

 

还有一个简单点的：
WinterAndSnowmen