luoguP4841 城市规划
题意：
求n个点的无相连通图的个数。有编号
思路一：
至于为什么除以k!：（没有博客中说的那么简单）
实际上，
对于一个n的用k个自然数的拆分，每一个拆分的贡献是：
$\frac{n!*\Pi contribution}{\Pi cnt[i]!*\Pi i!}$这里i是所有出现过的自然数，cnt表示出现次数
因为认为集合两两之间都是不同的，但是对于相同的i，会计算多次。要除以出现次数的阶乘。对于不同的i，本身sz就不同，所以不会重复
然后考虑每个自然数拆分的方案数：
$f^k$
但是每个自然数拆分，会被计算：$\frac{k!}{\Pi cnt[i]}$次，再除掉
所以，实际上，贡献就是：$\frac{n!*\Pi contribution}{k!*\Pi i!}$
就是$\frac{f^k}{k!}$的第n项再乘上$n!$
然后就可以用麦克劳林展开，推出e^f的式子了
思路二：
考虑dp
f[i]，i个点的ans
无向图很好算.2^(C(n,2))
考虑在所有无向图中减去不连通的
不连通意味着某个点不能到达所有其他点
不妨从1来观察
枚举和1的联通块大小j
设g(n,j)，表示n个点，和1联通块大小为j的无向连通图个数
g(n,j)=C(n-1,j-1)*2^(C(n-j,2))*f[j]
f[n]=2^(C(n,2)-∑g(n,j) (1<=j<=n-1)
把g和f的关系带进去
然后移项过去，发现可以把j范围变成(1<=j<=n)就消掉了f[n]项
组合数展开，可以NTT
然后再转化成逆元
注意，这个逆元是在mod x^(n+1)下的
最后乘出来的长度是2*n的
注意长度
#include<bits/stdc++.h> #define il inline #define reg register int #define int long long #define numb (ch^'0') using namespace std; typedef long long ll; il void rd(int &x){ char ch;bool fl=false; while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true); for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb); (fl==true)&&(x=-x); } namespace Miracle{ const int N=8*130000+5; const int mod=1004535809; const int G=3; ll GI; int n; ll jie[N],ivv[N]; ll f[N],ni[N],p[N],g[N],t[N],d[N],e[N]; int rev[N]; int qm(int x,int y){ int ret=1; while(y){ if(y&1) ret=(ll)ret*x%mod; x=(ll)x*x%mod; y>>=1; } return ret; } int mo(int x){ return x>=mod?x-mod:x; } void pre(int n){ for(reg i=0;i<n;++i){ rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?n>>1:0); } } void NTT(int *f,int n,int c){ for(reg i=0;i<n;++i){ if(i>rev[i]){ f[i]^=f[rev[i]]^=f[i]^=f[rev[i]]; } } for(reg p=2;p<=n;p<<=1){ int gen; if(c==1) gen=qm(G,(mod-1)/p); else gen=qm(GI,(mod-1)/p); for(reg l=0;l<n;l+=p){ int buf=1; for(reg k=l;k<l+p/2;++k){ int tmp=(ll)buf*f[k+p/2]%mod; f[k+p/2]=mo(f[k]-tmp+mod); f[k]=mo(f[k]+tmp); buf=(ll)buf*gen%mod; } } } } void calc(int *f,int *g,int n){ for(reg i=0;i<n;++i){ rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?n>>1:0); } NTT(f,n,1);NTT(g,n,1); for(reg i=0;i<n;++i) f[i]=(ll)f[i]*g[i]%mod; NTT(f,n,-1); ll iv=qm(n,mod-2); for(reg i=0;i<n;++i) f[i]=(ll)f[i]*iv%mod; } void inv(int *f,int *g,int n){//mod n if(n==1){ g[0]=qm(f[0],mod-2);return; } inv(f,g,n>>1); for(reg i=0;i<n/2;++i) d[i]=g[i],e[i]=f[i]; for(reg i=n/2;i<=n;++i) d[i]=0,e[i]=f[i]; for(reg i=n+1;i<=2*n;++i) d[i]=0,e[i]=0; for(reg i=0;i<2*n;++i){ rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?(2*n)>>1:0); } NTT(d,2*n,1);NTT(e,2*n,1); for(reg i=0;i<2*n;++i){ g[i]=mo(mo(2*d[i])-(ll)e[i]*d[i]%mod*d[i]%mod+mod); } NTT(g,2*n,-1); ll iv=qm(2*n,mod-2); for(reg i=0;i<2*n;++i){ if(i<n) g[i]=(ll)g[i]*iv%mod; else g[i]=0; } } int main(){ rd(n); GI=qm(G,mod-2); int len,lp; for(lp=n,len=1;len<=lp;len<<=1); jie[0]=1; for(reg i=1;i<len;++i){ jie[i]=jie[i-1]*i%mod; } ivv[len-1]=qm(jie[len-1],mod-2); for(reg i=len-2;i>=0;--i){ ivv[i]=ivv[i+1]*(i+1)%mod; } for(reg i=0;i<len;++i){ g[i]=qm(2,(ll)(i-1)*i/2)*ivv[i]%mod; if(i)t[i]=qm(2,(ll)(i-1)*i/2)*ivv[i-1]%mod; else t[i]=0; } // cout<<" gg "<<endl; // for(reg i=0;i<=n;++i){ // cout<<g[i]<<" "; // } // cout<<" tt "<<endl; // for(reg i=0;i<=n;++i){ // cout<<t[i]<<" "; // }cout<<endl; inv(g,ni,len); // //for(reg i=n+1;i<=) // cout<<" ni "<<endl; // for(reg i=0;i<=10;++i){ // cout<<ni[i]<<" "; // }cout<<endl; len*=2; pre(len); NTT(ni,len,1);NTT(t,len,1); for(reg i=0;i<len;++i){ f[i]=ni[i]*t[i]%mod; } NTT(f,len,-1); ll iv=qm(len,mod-2); for(reg i=0;i<len;++i) f[i]=f[i]*iv%mod; printf("%lld",f[n]*jie[n-1]%mod); return 0; } } signed main(){ Miracle::main(); return 0; } /* Author: *Miracle* Date: 2019/2/3 21:43:20 */
