[学习笔记]多项式对数函数

【模板】多项式对数函数 

第一次接触

感觉没有什么实际价值？这种定义也是不明不白？

先背板子好了

 

（upda:2019.2.6：好像就是指数函数的辅佐，ln就是一种表示，不像exp还是能展开的）

 

前置知识：

1.多项式积分，多项式求导

就是把多项式看成函数进行积分和求导

 

求导和不定积分互逆

也就是说

如果G(x)=F'(x)，并且F(x)的常数项为0，

那么对G(x)进行积分，得到的就是F(x)

 

证明大概就是积分的求法：

要么是按照面积分成一块一块求

要么是找到导数是这个函数的函数的两个位置函数值做差

 

2.多项式求逆

一个条件是a0!=0

所以多项式有ln的前提条件是a0!=0

 

B(x)=lnA(x)

对两边同时求导

G'(F(x))=G'(u)*F'(x)（其中u=F(x)）然后再回带

B'(x)=1/A(x)*A'(x)

然后对B'(x)做积分即可得到B(x)本身

（或者理解成直接找导数是B'(x)的B(x)，由于式子都是ai*x^i的，所以很好找）

 

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define reg register int
#define numb (ch^'0')
#define int long long
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=8*1e5+5;
const int mod=998244353;
const int G=3;
const int GI=332748118;
int n;
int f[N],p[N],ni[N];
int rev[N];
int qm(int x,int y){
    int ret=1;
    while(y){
        if(y&1) ret=(ll)ret*x%mod;
        x=(ll)x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
void NTT(int *f,int n,int c){
    for(reg i=0;i<n;++i){
        if(i<rev[i]) swap(f[i],f[rev[i]]);
    }
    for(reg p=2;p<=n;p<<=1){
        ll gen;
        if(c==1) gen=qm(G,(mod-1)/p);
        else gen=qm(GI,(mod-1)/p);
        for(reg l=0;l<n;l+=p){
            ll buf=1;
            for(reg k=l;k<l+p/2;++k){
                ll tmp=(ll)buf*f[k+p/2]%mod;
                f[k+p/2]=(f[k]-tmp+mod)%mod;
                f[k]=(f[k]+tmp)%mod;
                buf=(ll)buf*gen%mod;
            }
        }
    }
}
void calc(int *f,int *g,int n){
    for(reg i=0;i<n;++i){
        rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?n>>1:0);
    }
    NTT(f,n,1);NTT(g,n,1);
    for(reg i=0;i<n;++i) f[i]=(ll)f[i]*g[i]%mod;
    NTT(f,n,-1);
    int iv=qm(n,mod-2);
    for(reg i=0;i<n;++i) f[i]=(ll)f[i]*iv%mod;
}
void inv(int *f,int *g,int n){
    if(n==1){
        g[0]=qm(f[0],mod-2);return;
    }
    inv(f,g,n>>1);
    for(reg i=0;i<n;++i) p[i]=f[i];
    for(reg i=n;i<2*n;++i) p[i]=0;
    for(reg i=0;i<2*n;++i){
        rev[i]=rev[i>>1]>>1|((i&1)?n:0);
    }
    NTT(p,2*n,1);NTT(g,2*n,1);
    for(reg i=0;i<2*n;++i){
        g[i]=(ll)((ll)2-(ll)g[i]*p[i]%mod+mod)%mod*g[i]%mod;
    }
    NTT(g,2*n,-1);
    int iv=qm(2*n,mod-2);
    for(reg i=0;i<n;++i) g[i]=(ll)g[i]*iv%mod;
    for(reg i=n;i<2*n;++i) g[i]=0;
}
void dao(int *f,int n){
    for(reg i=0;i<n-1;++i){
        f[i]=(ll)f[i+1]*(i+1)%mod;
    }
    f[n-1]=0;
}
void ji(int *f,int n){
    for(reg i=n-1;i>0;--i){
        f[i]=(ll)f[i-1]*qm(i,mod-2)%mod;
    }
    f[0]=0;
}
int main(){
    rd(n);
    for(reg i=0;i<n;++i){
        rd(f[i]);
    }
    int len,lp;
    for(lp=2*n,len=1;len<=lp;len<<=1);
    inv(f,ni,len>>1);
    dao(f,len>>1);
    calc(f,ni,len);
    ji(f,len);
    for(reg i=0;i<n;++i){
        printf("%d ",f[i]);
    }
    return 0;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2019/1/29 19:51:00
*/