[学习笔记]Segment Tree Beats!九老师线段树
对于这样一类问题：
区间取min，区间求和。
N<=100000
要求O(nlogn)级别的算法
直观体会一下，区间取min，还要维护区间和
增加的长度很不好求。。。。
然鹅，
从前有一个来自杭州天水幼儿园的julao叫九条可怜
他发明了一个线段树的写法，
攻克了这个难题。
说起来很简单：
线段树维护区间最大值，区间严格次大值，和区间最大值出现次数
修改的时候，如果c大于mx，直接return
如果c小于mx而大于cmx，根据最大值的出现次数可以直接修改sum（注意必须是严格大于cmx，否则不能维护好严格次大值）
如果c小于等于cmx，那么暴力递归左右儿子，最终会用前两个更新，回溯来pushup一下
复杂度？
前两个O(1)就回溯了，不管。
第三个操作貌似有些暴力？
由于只有取max，所以
假如开始有O(N)个不同的值，那么每进行一次第三次操作，至少mx，和cmx要变得一样。值域减少1
那么，第三次操作最多进行O(n)次，每次均摊O(logn)
所以复杂度O(nlogn)
例题（以及一些具体操作）：
bzoj4695. 最假女选手
【bzoj4695】最假女选手
区间还要加？值域会改变，，，可以证明（就是说我不会证）复杂度是O(nlog^2n)
维护区间最大值，次大值，最大值出现次数，最小值同理。以及区间和，区间加标记
下放：
先下放区间加标记，现在儿子的情况大致和父亲一样了
区别在于，之前区间取min可能把最大值砍掉一些，但是没有在儿子中更新。
由于仅最大值小了一些，所以如果父亲的最大值在儿子的最大值和次大值之间，那么暴力再让儿子对父亲的最大值取个min（直接返回的，这个也是O(1)的）
第二种情况的更新时候：
可能造成最大值和最小值相同的情况，那么必然就是全部都相等了。特判一下，把次大值-inf，最大值inf（其实这个没有必要）
或者可能只有值域只有两个，那么次大值或者次小值也要尝试更新一下。其他值域的时候不影响。（这个必须有）
代码比较长：
#include<bits/stdc++.h> #define reg register int #define il inline #define mid ((l+r)>>1) #define ls t[x].lson #define rs t[x].rson #define numb (ch^'0') using namespace std; typedef long long ll; il void rd(int &x){ char ch;x=0;bool fl=false; while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true); for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb); (fl==true)&&(x=-x); } namespace Miracle{ const int N=6e5+5; const int inf=0x3f3f3f3f; int n,m; int a[N]; struct node{ int mx,cmx,tmx; int mi,cmi,tmi; ll sum; ll ad; int lson,rson; }t[2*N]; int tot; void pushup(int x){ t[x].sum=t[ls].sum+t[rs].sum; if(t[ls].mx>t[rs].mx){ t[x].mx=t[ls].mx,t[x].tmx=t[ls].tmx;t[x].cmx=max(t[ls].cmx,t[rs].mx); }else if(t[ls].mx<t[rs].mx){ t[x].mx=t[rs].mx,t[x].tmx=t[rs].tmx;t[x].cmx=max(t[rs].cmx,t[ls].mx); }else{ t[x].mx=t[ls].mx;t[x].tmx=t[ls].tmx+t[rs].tmx;t[x].cmx=max(t[rs].cmx,t[ls].cmx); } if(t[ls].mi<t[rs].mi){ t[x].mi=t[ls].mi,t[x].tmi=t[ls].tmi;t[x].cmi=min(t[ls].cmi,t[rs].mi); }else if(t[ls].mi>t[rs].mi){ t[x].mi=t[rs].mi,t[x].tmi=t[rs].tmi;t[x].cmi=min(t[rs].cmi,t[ls].mi); }else{ t[x].mi=t[ls].mi;t[x].tmi=t[ls].tmi+t[rs].tmi;t[x].cmi=min(t[rs].cmi,t[ls].cmi); } } void addmax(int x,int l,int r,int c){//qu max t[x].sum+=(ll)t[x].tmi*(c-t[x].mi); t[x].mi=c; t[x].mx=max(t[x].mx,c); if(t[x].mi==t[x].mx){ t[x].sum=((ll)r-l+1)*c;t[x].tmi=t[x].tmx=r-l+1;t[x].cmi=inf;t[x].cmx=-inf; }else t[x].cmx=max(t[x].cmx,c); } void addmin(int x,int l,int r,int c){ t[x].sum+=(ll)t[x].tmx*(c-t[x].mx); t[x].mx=c; t[x].mi=min(t[x].mi,c); if(t[x].mi==t[x].mx){ t[x].sum=((ll)r-l+1)*c;t[x].tmi=t[x].tmx=r-l+1;t[x].cmi=inf;t[x].cmx=-inf; }else t[x].cmi=min(t[x].cmi,c); } void build(int x,int l,int r){ if(l==r){ t[x].mx=t[x].mi=a[l]; t[x].cmx=-inf;t[x].cmi=inf; t[x].tmx=t[x].tmi=1; t[x].sum=a[l];return; } ls=++tot;rs=++tot; build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r); pushup(x); } void getsum(int x,int l,int r,int c){ t[x].ad+=c;t[x].sum+=(r-l+1)*c; t[x].mi+=c;t[x].cmi+=c; t[x].mx+=c;t[x].cmx+=c; } void pushdown(int x,int l,int r){ if(t[x].ad){ getsum(ls,l,mid,t[x].ad); getsum(rs,mid+1,r,t[x].ad); t[x].ad=0; } if(t[ls].mx>t[x].mx&&t[ls].cmx<t[x].mx) addmin(ls,l,mid,t[x].mx); if(t[rs].mx>t[x].mx&&t[rs].cmx<t[x].mx) addmin(rs,mid+1,r,t[x].mx); if(t[ls].mi<t[x].mi&&t[ls].cmi>t[x].mi) addmax(ls,l,mid,t[x].mi); if(t[rs].mi<t[x].mi&&t[rs].cmi>t[x].mi) addmax(rs,mid+1,r,t[x].mi); } void chanmx(int x,int l,int r,int L,int R,int c){ //cout<<x<<" "<<l<<" "<<r<<" "<<L<<" "<<R<<" "<<c<<" "<<t[x].cmi<<endl; if(L<=l&&r<=R){ if(t[x].mi>=c) return; if(t[x].cmi>c) { addmax(x,l,r,c);return; } pushdown(x,l,r); chanmx(ls,l,mid,L,R,c); chanmx(rs,mid+1,r,L,R,c); pushup(x); return; } pushdown(x,l,r); if(L<=mid) chanmx(ls,l,mid,L,R,c); if(mid<R) chanmx(rs,mid+1,r,L,R,c); pushup(x); } void chanmi(int x,int l,int r,int L,int R,int c){ if(L<=l&&r<=R){ if(t[x].mx<=c) return; if(t[x].cmx<c) { addmin(x,l,r,c);return; } pushdown(x,l,r); chanmi(ls,l,mid,L,R,c); chanmi(rs,mid+1,r,L,R,c); pushup(x); return; } pushdown(x,l,r); if(L<=mid) chanmi(ls,l,mid,L,R,c); if(mid<R) chanmi(rs,mid+1,r,L,R,c); pushup(x); } void add(int x,int l,int r,int L,int R,int c){ if(L<=l&&r<=R){ getsum(x,l,r,c); return; } pushdown(x,l,r); if(L<=mid) add(ls,l,mid,L,R,c); if(mid<R) add(rs,mid+1,r,L,R,c); pushup(x); } int qmax(int x,int l,int r,int L,int R){ if(L<=l&&r<=R){ return t[x].mx; } pushdown(x,l,r);int ret=-inf; if(L<=mid) ret=max(ret,qmax(ls,l,mid,L,R)); if(mid<R) ret=max(ret,qmax(rs,mid+1,r,L,R)); return ret; } int qmin(int x,int l,int r,int L,int R){ if(L<=l&&r<=R){ return t[x].mi; } pushdown(x,l,r);int ret=inf; if(L<=mid) ret=min(ret,qmin(ls,l,mid,L,R)); if(mid<R) ret=min(ret,qmin(rs,mid+1,r,L,R)); return ret; } ll qsum(int x,int l,int r,int L,int R){ if(L<=l&&r<=R){ return t[x].sum; } pushdown(x,l,r);ll ret=0; if(L<=mid) ret+=qsum(ls,l,mid,L,R); if(mid<R) ret+=qsum(rs,mid+1,r,L,R); return ret; } int main(){ rd(n); for(reg i=1;i<=n;++i){ rd(a[i]); } rd(m); ++tot; build(1,1,n); //cout<<" tot "<<tot<<endl; int op,l,r,x; int o=0; while(m--){ ++o; // cout<<" oooo "<<o<<endl; rd(op); switch(op){ case 1:rd(l);rd(r);rd(x);add(1,1,n,l,r,x);break; case 2:rd(l);rd(r);rd(x);chanmx(1,1,n,l,r,x);break; case 3:rd(l);rd(r);rd(x);chanmi(1,1,n,l,r,x);break; case 4:rd(l);rd(r);printf("%lld\n",qsum(1,1,n,l,r));break; case 5:rd(l);rd(r);printf("%d\n",qmax(1,1,n,l,r));break; case 6:rd(l);rd(r);printf("%d\n",qmin(1,1,n,l,r));break; } } return 0; } } signed main(){ Miracle::main(); return 0; } /* Author: *Miracle* Date: 2018/12/27 9:57:30 */
不亏是九老师自己出的题
