[CERC2017]Intrinsic Interval——扫描线+转化思想+线段树

[CERC2017]Intrinsic Interval

https://www.luogu.org/blog/ywycasm/solution-p4747#

这种“好的区间”，见得还是比较多的了。

mx-mi=r-l

比较经典的题是统计这样的区间个数。可以分治+大力分类讨论mx，mi的位置

但是这个题是一个询问。

先观察一些显而易见的性质：

1.好的区间的交也是好的区间

2.好的区间的并也是好的区间

所以，考虑对于一个询问，如果往后固定r找到了一个[L,R]的L左边最靠后的l，使得[l,r]是好区间，那么这就是最优答案了。后面再有也一定是包含关系。

固定r的话，不如试试离线扫描线？

用set存询问，L大到小排序。不合法直接break，因为更小的区间更不可能有左端点。合法更新答案，然后erase

问题在于，当r变成r+1的时候，我们怎样快速维护每个li的位置是不是有[li,r+1]是一个好的区间

一个比较棒的转化是:

如果[l,r]是一个好的区间，那么把这个区间的数排序之后，得到的序列相邻两项相差一定是1

定义(i,j)为一个好的二元组，当且仅当a[i]-a[j]=1

这样的两项的二元组在[l,r]中恰好有r-l个

所以，一个区间是好的区间，当且仅当好的二元组有r-l个。

线段树每个位置维护到r的二元组个数val

val+l=r则l位置是好的区间

l不变，不妨线段树位置初值为下标。

更新的话，设p[i]为权值为i的数的数组下标

多了一个a[r]，对于左端点位于[1,p[a[r]-1]]和[1,p[a[r]+1]]的到r都会多一个二元组！

所以这些位置区间+1

存在val+l=r的找最右边的l？

发现tmp=val+l，最大就是r！（因为val最多就是r-l）

所以区间最大值最右边的那一个位置。

线段树随便搞

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define mid ((l+r)>>1)
#define ls (x<<1)
#define rs (x<<1|1)
#define il inline
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=100000+5;
int n,m;
int a[N],p[N];
struct po{
    int mx,id;
    po(){}
    po(int vv,int dd){
        mx=vv,id=dd;
    }
    bool friend operator <(po a,po b){
        if(a.mx!=b.mx) return a.mx<b.mx;
        return a.id<b.id;
    }
}pr;
struct node{
    po v;
    int ad;
}t[4*N];
void pushup(int x){
    t[x].v=max(t[ls].v,t[rs].v);
}
void pushdown(int x){
    if(!t[x].ad) return;
    t[ls].v.mx+=t[x].ad;
    t[ls].ad+=t[x].ad;
    t[rs].v.mx+=t[x].ad;
    t[rs].ad+=t[x].ad;
    t[x].ad=0;
}
void build(int x,int l,int r){
    if(l==r){
        t[x].v=po(l,l);
        t[x].ad=0;
        return;
    }
    build(ls,l,mid);
    build(rs,mid+1,r);
    pushup(x);
}
void add(int x,int l,int r,int L,int R,int c){
    if(L<=l&&r<=R){
        t[x].ad+=c;
        t[x].v.mx+=c;
        return;
    }
    pushdown(x);
    if(L<=mid) add(ls,l,mid,L,R,c);
    if(mid<R) add(rs,mid+1,r,L,R,c);
    pushup(x);
}
po query(int x,int l,int r,int L,int R){//ask the rightest mx's pos
    if(L<=l&&r<=R) return t[x].v;
    pushdown(x);
    po ret;ret.mx=-2333,ret.id=-6666;
    if(L<=mid) ret=max(ret,query(x<<1,l,mid,L,R));
    if(mid<R) ret=max(ret,query(x<<1|1,mid+1,r,L,R));
    return ret;
}
struct que{
    int l,r,id;
    bool friend operator <(que a,que b){
        if(a.l!=b.l) return a.l>b.l;
        if(a.r!=b.r) return a.r>b.r;
        return a.id<b.id;
    }
}q[N];
bool cmp(que a,que b){
    return a.r<b.r;
}

pair<int,int>ans[N];
set<que>s;
set<que>::iterator it;
int main(){
    rd(n);
    for(reg i=1;i<=n;++i) rd(a[i]),p[a[i]]=i;
    rd(m);
    for(reg i=1;i<=m;++i){
        rd(q[i].l);rd(q[i].r);
        q[i].id=i;
    }
    sort(q+1,q+m+1,cmp);
    build(1,1,n);
    int ptr=1;
    for(reg i=1;i<=n;++i){
        while(ptr<=m&&q[ptr].r==i){
            s.insert(q[ptr]);++ptr;
        }
        if(a[i]>1&&p[a[i]-1]<i) add(1,1,n,1,p[a[i]-1],1);
        if(a[i]<n&&p[a[i]+1]<i) add(1,1,n,1,p[a[i]+1],1);
        while(s.size()){
            que now=*s.begin();
            pr=query(1,1,n,1,now.l);
            if(pr.mx!=i){
                break;
            }
            ans[now.id].first=pr.id;
            ans[now.id].second=i;
            
            s.erase(now);
        }
    }
    for(reg i=1;i<=m;++i){
        printf("%d %d\n",ans[i].first,ans[i].second);
    }
    return 0;
}

}
signed main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2018/12/25 19:27:07
*/

（mx-mi=r-l l+mx-mi=r，这个是不可以维护的，因为第一不好维护，第二没有最大值就是r的限制，不能查找）

总结：

离线+扫描线是处理区间询问的利器

尤其这个题，r对l的贡献又相对独立，而且可以支持快速单点增量改变，所以扫描线处理起来就游刃有余。

好区间的交、二元组的性质也是重要的思维过程。

 upda：2019.3.17：主要还是利用二元组的转化思想，使得贡献独立