[NOI2014]购票
不错的一道码农题。
首先是个dp很显然了。
然后展开发现是个斜率优化不错。
但是取值有范围的。。。。
直接单调队列并不可以，因为凸包这个东西不是独立贡献答案的。
方法比较多，，
法一：
直观的想法是，既然可以转移的是一个区间，那么我们能不能快速得到这个区间的凸包呢？
线段树维护凸包应运而生。
只要在所有拆出来的区间中，分别在其维护的凸包上二分斜率即可。所有的值取min
但是如果dfs顺序来做的话，必须要支持凸包的撤销操作，，，，但是凸包的复杂度是均摊O(1)的，，，可以被特殊构造卡到O(n)。。。。
所以考虑能不能避免撤销操作。
还有没有什么可以动态处理树链的方法呢？
似乎只有树链剖分了。这样用dfn序维护整颗树即可。
修改：
如果处理好一个点的答案，
dfs询问处理的时候，也按照dfn序处理，这样就是不断在线段树最后加入一个点了。
凸包怎么办？可以暴力修改线段树一个链上的凸包，但是要对dis二分，而且常数极大。。
考虑到，每次询问都是一个之前dfn的区间，所以，当处理了1~3的dfn序之后，代表1~4的区间一定不用来询问。
所以，当一个区间的最后一个点加入之后，暴力把两个儿子合并即可。这样总线段树凸包的总复杂度O(nlogn)
询问：
树链剖分跳重链，把重链上有关的区间内的凸包上二分一下。注意lv[x]的边界处理。我是在树链剖分的时候额外二分了一下（其实线段树再记录min，max也可以）
O(nlog^3n)其中，树剖的logn不满，二分的logn更虚，所以实际跑的不错。
#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define reg register int
#define numb (ch^'0')
#define int long long
#define mid ((l+r)>>1)
#define ls (x<<1)
#define rs (x<<1|1)
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(ll &x){
char ch;bool fl=false;
while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
(fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=2e5+5;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m;
int dfn[N],df,fdfn[N],sz[N];
int dep[N];
int fa[N];
ll dis[N];
struct edge{
int nxt,to;
ll val;
}e[2*N];
int hd[N],cnt;
ll pv[N],qv[N],lv[N];
int top[N],son[N];
void add(int x,int y,ll z){
e[++cnt].nxt=hd[x];
e[cnt].to=y;
e[cnt].val=z;
hd[x]=cnt;
}
ll ans[N];
void dfs1(int x,int d){
sz[x]=1;
dep[x]=d;
for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
int y=e[i].to;
dis[y]=dis[x]+e[i].val;
dfs1(y,d+1);
sz[x]+=sz[y];
if(sz[y]>sz[son[x]]) son[x]=y;
}
}
void dfs2(int x){
dfn[x]=++df;fdfn[df]=x;
if(!top[x]) top[x]=x;
if(son[x]) top[son[x]]=top[x],dfs2(son[x]);
for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
int y=e[i].to;
if(y==son[x]) continue;
dfs2(y);
}
}
struct node{
vector<pair<ll,ll> >tu;
ll mi;//mindis
}t[4*N];
int b[N],tot;
double cross(ll x1,ll y1,ll x2,ll y2){
return (double)x1*y2-(double)x2*y1;
}
void pop(int x,ll d,ll f){
while(t[x].tu.size()>1){
int size=t[x].tu.size();
// cout<<" size "<<endl;
double tmp=cross(t[x].tu[size-1].fi-d,t[x].tu[size-1].se-f,t[x].tu[size-2].fi-d,t[x].tu[size-2].se-f);
if(tmp>=0) t[x].tu.pop_back();
else break;
}
t[x].tu.push_back(make_pair(d,f));
}
void pushup(int x){
// cout<<" pushing "<<x<<endl;
t[x].mi=min(t[ls].mi,t[rs].mi);
int le=0,ri=0;
for(int i=1;i<=(int)(t[x<<1].tu.size())+(int)(t[x<<1|1].tu.size());++i){
// cout<<" ii "<<i<<" ---------------- "<<endl;
if(le==(int)t[x<<1].tu.size()){
// cout<<" here "<<endl;
pop(x,t[rs].tu[ri].fi,t[rs].tu[ri].se);++ri;
}else if(ri==(int)t[x<<1|1].tu.size()){
pop(x,t[ls].tu[le].fi,t[ls].tu[le].se);++le;
}
else if(t[ls].tu[le].fi==t[rs].tu[ri].fi){//warning!!!
if(t[ls].tu[le].se<t[rs].tu[ri].se) pop(x,t[ls].tu[le].fi,t[ls].tu[le].se);//,++le;
else pop(x,t[rs].tu[ri].fi,t[rs].tu[ri].se);//,++ri;
++le;++ri;++i;
}
else if(t[ls].tu[le].fi<t[rs].tu[ri].fi){
pop(x,t[ls].tu[le].fi,t[ls].tu[le].se);++le;
}else{
pop(x,t[rs].tu[ri].fi,t[rs].tu[ri].se);++ri;
}
}
}
void upda(int x,int l,int r,int p,ll d,ll f){
// cout<<" updaing "<<p<<" "<<d<<" "<<f<<endl;
if(l==r){
t[x].mi=d;
t[x].tu.push_back(make_pair(d,f));
return;
}
if(p<=mid) upda(x<<1,l,mid,p,d,f);
else upda(x<<1|1,mid+1,r,p,d,f);
if(p==r) pushup(x);
}
double slope(ll x1,ll y1,ll x2,ll y2){
if(x2==x1){
if(y1>y2) return inf;
return -inf;
}
return ((double)y1-(double)y2)/((double)x1-(double)x2);
}
ll query(int x,int l,int r,int L,int R,ll k){//dis>=c // return f[j]-dis[j]*k
if(L<=l&&r<=R){
ll ret=0;
// if(t[x].mi>=c){
//
// }else{
// ret=query(x<<1,l,mid,L,R,c,k);
// ret=min(ret,query(x<<1|1,))
// }
int le=0,ri=t[x].tu.size()-1;
while(le<=ri){
int md=(le+ri)>>1;
if(md==0){
if(le==ri) ret=0;
else{
ll t0=t[x].tu[0].se-t[x].tu[0].fi*k;
ll t1=t[x].tu[1].se-t[x].tu[1].fi*k;
if(t0<t1) ret=0;
else ret=1;
}
break;
}
else{
double sl=slope(t[x].tu[md].fi,t[x].tu[md].se,t[x].tu[md-1].fi,t[x].tu[md-1].se);
if(sl<=(double)k) ret=md,le=md+1;
else ri=md-1;
}
}
// cout<<" sz "<<t[x].tu.size()<<endl;
// cout<<" ret "<<ret<<endl;
return t[x].tu[ret].se-t[x].tu[ret].fi*k;
}
ll ret=inf;
if(L<=mid) ret=min(ret,query(x<<1,l,mid,L,R,k));
if(mid<R) ret=min(ret,query(x<<1|1,mid+1,r,L,R,k));
return ret;
}
void wrk(int x){
//cout<<" wrking "<<x<<endl;
int y=fa[x];
ans[x]=inf;
while(1){
//cout<<" yy "<<y<<endl;
if(dis[x]-dis[y]>lv[x]) break;
if(!y) break;
if(dis[x]-dis[top[y]]<=lv[x]){
//cout<<" goto top "<<endl;
ans[x]=min(ans[x],query(1,1,n,dfn[top[y]],dfn[y],pv[x]));
}
else{
int l=dfn[top[y]],r=dfn[y];
int up=y;
while(l<=r){
if(dis[x]-dis[fdfn[mid]]<=lv[x]) up=fdfn[mid],r=mid-1;
else l=mid+1;
}
///cout<<" up "<<up<<endl<<" pv "<<pv[x]<<endl;
ans[x]=min(ans[x],query(1,1,n,dfn[up],dfn[y],pv[x]));
}
y=fa[top[y]];
}
//cout<<" ans[x] "<<ans[x]<<endl;
ans[x]+=qv[x]+dis[x]*pv[x];
}
void dfs3(int x){
// cout<<" sloving "<<x<<endl;
if(x==1){
upda(1,1,n,1,0,0);
}
else{
wrk(x);
// cout<<" after wrk "<<ans[x]<<endl;
upda(1,1,n,dfn[x],dis[x],ans[x]);
// cout<<" upda finished "<<endl;
}
if(son[x]) dfs3(son[x]);
for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
int y=e[i].to;
if(y==son[x]) continue;
dfs3(y);
}
}
int main(){
rd(n);rd(m);
int s;
for(reg i=2;i<=n;++i){
rd(fa[i]);rd(s);rd(pv[i]);rd(qv[i]);rd(lv[i]);
add(fa[i],i,s);
}
dis[0]=0;
dfs1(1,1);
dfs2(1);
// for(reg i=1;i<=n;++i){
// cout<<i<<" : "<<dfn[i]<<" "<<fa[i]<<" "<<top[i]<<endl;
// }
dfs3(1);
for(reg i=2;i<=n;++i){
printf("%lld\n",ans[i]);
}
return 0;
}
}
signed main(){
Miracle::main();
return 0;
}
/*
Author: *Miracle*
Date: 2018/12/20 8:00:53
*/
法二：
这个跳树链实在还是多一个logn比较吃亏
如果可以dfs顺序来做就好了。这样直接一条链下来，凸包上直接二分就好。
上面已经分析，这样不能撤销。
树上求链还有什么算法呢？
点分治！
我们找到当前的重心H，先把H和根相连的部分和根的其他子树递归下去。
，，把和根相连的部分的这条链找出来，建一个凸包。
H的所有儿子的值也许都可以在这个凸包上找到决策点，dfs这些儿子的子树然后在凸包上二分
递归H的子树部分联通块。
这样，按顺序地，我们可以得到某个点的所有可能决策点的转移。
（其实思想有点类似CDQ分治，考虑H到根的路径对后面分治树部分的影响。）
理论O(nlog^2n) 二分的logn同样比较虚。
法三：
dfs真的不能直接进行吗？
其实可以。
一个厉害的东西是二进制分组。
至于撤销，
类似分块的处理，
如果多了4个1，那么把前两个1合成2，
如果多了4个2，那么把前两个2合成4
。。。
删除暴力干掉这个凸包
这样，每添加2^k个点，才会建造一个2^k的凸包。
每删除2^k个点，才会删除一个2^k的凸包。
所以，凸包的建造复杂度，基本和O(nlogn)同级。
就是往前面的暴力找常数比较大。
复杂度O(nlog^2n)+大常数。
