The 2023 ICPC Asia Hangzhou Regional Contest / The 2nd Universal Cup. Stage 22: Hangzhou

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M. V-Diagram

题意：给一个 $V$ 图,求一个连续子序列平均值最大的 $V$ 图。

设顶点是 $x$，答案一定是 $[1,x+1],[x-1,n],[1,n]$ 三者之一，复杂度 $\Theta(n)$。

J. Mysterious Tree

题意：一棵树，可能是链或者菊花，每次询问一条边存在性，确定是链还是菊花。询问次数 $\lceil \dfrac{n}{2}\rceil + 3$。

先依次询问 $(1,2),(3,4),\cdots$，如果原树是菊花，那必定有且仅有一次询问是存在的，设为 $(u,u+1)$，那中心点只可能是 $u$ 或 $u+1$，随便选其他两个点 $(a,b)$ 询问，先问 $(u,a),(v,a)$，拿有边的那个再询问 $b$ 即可。

G. Snake

题意：给定 $n \times m$ 地图上的一条长度为 $k$ 的贪吃蛇。每次操作可以控制贪吃蛇移动一步或者缩短一格蛇身。对于每个位置，求从初始状态出发最少需要多少次操作使得蛇头到达该处。

对于所有初始被贪吃蛇覆盖的位置，设它为从头到尾第 $p$ 个位置 $(x_p,y_p)$，那么设 $c_{x_p,y_p} = k-p+1$，表示头到达这个位置时至少要 $c_{x_p,y_p}$ 时刻之后，然后可以直接跑一个最短路 $dis_{x',y'} = \max(dis_{x,y}+1,c_{x',y'})$，复杂度 $\Theta(nm\log{nm})$。

对于取 $\max$ 操作，可以拿另一个队列升序维护所有 $dis_{x,y} = c_{x,y}$ 的位置，每次 bfs 时找到两个队列的头部最小值就行，复杂度 $\Theta(nm+k\log k)$。

H. Sweet Sugar II

$n$ 个数 $a_1,a_2,\cdots a_n$，有 $n$ 个事件，每个事件形如：如果 $a_i < a_{b_i}$，则 $a_i \leftarrow a_i + w_i$。事件随机顺序发生，问每个数的期望。

• 对于 $a_i < a_{b_i}$ 的 $i$，由于 $\forall i,w_i > 0$，最后 $a_i$ 一定是 $a_i + w_i$。设这种点是 $A$ 类点。

• 对于 $a_i \ge a_{b_i} + w_{b_i}$ 的 $i$，最后显然一定是 $a_i$。设这种是 $B$ 类点。

• 对于 $a_i < a_{b_i} + w_{b_i}$ 的 $i$，设这种为 $C$ 类点。

首先 $i \to b_i$ 一定是个基环树，对于 $C$ 类点，肯定是经过若干个 $C$ 类点，结尾是一个 $A$ 类点，设 $i = p_1,p_2\cdots p_k$，其中 $p_k$ 为 $A$ 类点，那么如果最后变成 $a_i + w_i$，发生顺序一定是 $p_k,\cdots p_1$，概率显然是 $\dfrac{1}{k!}$。对于每个 $C$ 类点算后面第一个 $A$ 类点距离即可，可以记忆化搜索，复杂度 $\Theta(n)$。

E. Period of String

题意：给 $n$ 个串，重排列每个串使得 $s_i$ 是 $s_{i+1}$ 的 period。其中 $a$ 是 $b$ 的 period 定义为 $b_i = a_i \text{ mod } |a|$.

考虑直接模拟这个过程，先看 $s_2$，一定可以分解成若干 $s_1$ 加上 $s_1$ 的一个前缀，然后 $s_3$ 一定可以分解成若干个 $s_2$ 加上 $s_2$ 的一个前缀，$s_2$ 的一个前缀一定可以分解成若干 $s_1$ 和 $s_1$ 的一个前缀。

考虑分解串的这个过程，是找到 $s_{i-1}$，然后剩下的若干个 $l<|s_{i-1}|$ 的位置再在 $s_{i-1}$ 中找到前面的第一个长度 $\le l$ 的整串。那么可以设 $lst_{i,j}$ 为串 $i$ 第 $j$ 个位置可以匹配到的前面最长整串，若 $|s_{i-1}| | j$，那么 $lst_{i,j} = i - 1$，否则 $lst_{i,j} = lst_{i-1,j \text{ mod } |s_{i-1}|}$，然后设 $fa_{i,j}$ 为串 $i$ 的第 $j$ 个位置最后分解出来对于 $s_1$ 的哪个位置，有 $fa_{i,j} = fa_{i-1,(j-1) \text{ mod } |s_{i-1}| + 1}$。

判定串 $s_i$ 时，设 $pos$ 为当前合法的位置，初始为 $1$，那么每次找到 $j\ge pos$ 的最大 $lst_{i,j}$，把 $[pos,pos+|s_{lst_{i,j}}| - 1]$ 匹配到 $s_{lst_{i,j}}$，可以直接统计字符出现次数来判定（可以写个链表防止复杂度劣化），然后最后无法匹配时剩下的长度就是 $s_1$ 的一个前缀长度 $len_i$，并且此时还剩下 $T_i$ 这些字符，设为 $(len_i,T_i)$。

最后把 $(len_i,T_i)$ 按 $len_i$ 排序，要求任意的 $(T_i \in T_{i+1})$ 即可。构造是简单的。

复杂度 $\Theta(n\log n + \sum |s_i|)$。

K. Card Game

题意：给一个牌序列，每次询问区间进行接龙游戏的剩余牌数。

设 $dp_{l,r}$ 为 $[l,r]$ 游戏的答案，设 $nxt_i$ 为 $i$ 后面第一个 $=a_i$ 的位置。

那么转移有 $dp_{l,r} = dp_{l+1,r}+1(r < nxt_i)$，$dp_{l,r} = dp_{nxt_{i} + 1, r} (r \ge nxt_i)$。

考虑优化转移，用一个主席树，每次先继承 $l+1$ 的 dp 值，然后把 $[l,nxt_l - 1]$ 区间加 $1$，然后把 $[nxt_l + 1, n]$ 这些位置继承 $nxt_l + 1$ 的子树即可。写一个永久化标记，注意继承 $nxt_l + 1$ 的子树时要减去当前到根的标记，加上 $nxt_l + 1$ 到根的标记。

复杂度 $\Theta(n\log n)$。