The 2024 CCPC Shandong Invitational Contest and Provincial Collegiate Programming Contest

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C. Colorful Segments 2

考虑最小的分组数量，可以先按左端点排序，然后每次贪心地找到前面一个最大右端点 $r_j < l_i$ 的组加入。

考虑计数，还是同样地按左端点排序，那么假设现在有 $k$ 个组，每个组最大右端点是 $g_i$（没有元素则 $g_i = 0$），那么每次可以选择一个 $g_j < l_i$ 的组并且把 $g_j$ 更新为 $l_i$。注意到我们不需要关心具体的 $g_j$，只用关心 $g_j < l_i$ 的数量。由于 $l_i$ 是单增的，所以所有 $g_j < l_i$ 的组 $j$ 本质相同。那么就是每次查询 $g_j < l_i$ 的数量，并且将其减 $1$，并插入一个 $r_i$，可以用堆模拟。复杂度 $\Theta(n \log n)$。

E. Sensors

由于恰好有 $1$ 个点的线段是有用的，且每个点不会被重新加入，那不妨考虑每次删除点的时候快速找到所有从 $>1$ 个变成 $1$ 个的线段，和从 $1$ 个变成 $0$ 个的线段。

从 $1$ 个变成 $0$ 个是好维护的，只需要把 $1$ 个的线段插入到那个点的 vector 中，删除的时候直接减去所有的贡献即可。

从 $>1$ 个变成 $1$ 个时，线段的左右端点恰好跨越一个点。设当前剩下的点坐标是 $pos_1 < pos_2 < ... < pos_m$ 那么不妨用一个 multiset 维护每个 $r_j \in [pos_i, pos_{i+1} - 1]$ 的 $l_j$，删除 $pos_i$ 时直接把 $st_{pos_i}$ 合并到 $st_{pos_{i-1}}$，并访问 $st_{pos_{i-1}}$ 和 $st_{pos_{i+1}}$ 最大的 $l_j$ 更新即可。复杂度 $\Theta(n\log^2n)$。

考虑更优秀的复杂度，把每个线段插入到线段树上的 $\log n$ 个节点，然后对于每个线段维护它所在的所有节点中点个数 $=0,=1,>1$ 的节点个数，当更新一个节点 $u$ 时，若 $sum_u \le 1$ 就访问所有这个节点上的线段更新即可。复杂度 $\Theta(n\log n)$。

G. Cosmic Travel

差分转化为 $x \le m$ 的第 $k$ 大和，那么套路地枚举 $x$ 和 $m$ 的 lcp 下一位，在 trie 上模拟前这些位（若这一位是 $0$，则先看 $siz_{ls}$，不够就到 $rs, k \leftarrow k - siz_{ls}$），然后拆成 $\Theta(\log V)$ 个询问一个子树异或任意数（不能超过这个子树能表示的最大数）的第 $k_i$ 大和。注意到这个东西是与询问无关的，设 $dp_{i,j}$ 为 $i$ 子树异或任意数的第 $j$ 大和，状态数量为 $\Theta(n \log V)$ 的（每个叶子统计 $\Theta(\log V)$ 次）。

这里为了方便，可以把和设为只看子树里的这些位的和，类似地模拟转移即可。

复杂度 $\Theta((n+q)\log V)$。

L. Intersection of Paths

考虑对于一个 $k$，有那些点可能成为并的一个端点，考虑每一条边 $(u,v)$，如果删掉这条边后 $\min(siz_u,siz_v) \ge k$ 这条边就合法，那么 $u,v$ 就合法。那么假如不考虑更改边的话，答案就是只取这些点组成的虚树（一定是原树的一个联通块）的直径。

考虑 $k$ 不同，并且加入更改边，由于大的 $k$ 对应联通块一定被小 $k$ 对应的完全包含，那么可以直径从小到大扫描线，每次从 $k \to k + 1$ 时，把 $\min(siz_u,siz_v) = k$ 的边删掉（更改边权为 $0$）。

那么就是要实现动态修改边权，查询直径。考虑在欧拉序上做，每次遍历到 $u$ 在 dfs 序后加入 $u$，遍历 $u$ 的 每个 儿子回来后再加入 $u$。然后就是要找到一个区间 $[l,r]$ 的 $\max\limits_{l\le L \le a \le R\le r} dep_L + dep_R - 2 \times dep_a$，其中 $a$ 肯定是 $[L,R]$ 中 $dep$ 最小那个。于是线段树上维护区间信息 $ans,ansl,ansr,maxd,mind$ 对应上述答案、$\max\limits_{L \le a} dep_L - 2 \times dep_a$、$\max\limits_{a \le R} dep_R - 2 \times dep_a$，最大和最小 $dep$。合并时 $ans = \max(ans_{ls},ans_{rs},ansl_{ls}+maxd_{rs},maxd_{ls}+ansr_{rs})$，$ansl = \max(ansl_{ls},ansl_{rs},maxd_{ls} - 2\times mind_{rs}),ansr=\max(ansr_{ls},ansr_{rs},maxd_{rs} - 2\times mind_{ls})$。

显然支持修改，复杂度 $\Theta((n+q)\log n)$。