【学习笔记】倍增分块

倍增分块常用于处理数值递减/递增的问题，形如当 $a_i \ge x$ 时，使 $a_i \leftarrow a_i - x$ 。

分成 $[2^k,2^{k+1})$ 的若干块。

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暴力就是排个序，然后便利值域，依次加入。加入完 $i$ 时，遍历到值域第一个不能被组成的位置 $x$ ， $[1,x)$ 的数都是可以被已经加入的数组成的，所以 $a_{i+1}$ 一定不能大于 $x$ 。一旦大于 $x$ ， $x$ 这个位置就不能被表示了。那么 $a_{i+1} \le x$ ，加入 $a_{i+1}$ 会使得下一个不能被组成的位置是 $x+a_{i+1}$ 。找到第一个不行的就行。

考虑优化这个过程，注意到 $x$ 是单增的，所以用倍增分块。设当前在 $x \in [2^k,2^{k+1})$ ，那么要往后加数，下一个数必然不能大于 $x$ 。所以可以查询 $[2^k,2^{k+1})$ 的最小值，如果最小值小于等于 $x$ ，那么由于最小值 $a_i \ge 2^k,x \ge 2^k$ ，所以 $x+a_i \ge 2^{k+1}$ ，那么这一块的所有数必定可以取走，所以就取走 $[2^k,2^{k+1})$ 所有数加到 $x$ 里面。每个块预处理用个 st 表就行，复杂度 $\Theta(n (\log n+ \log V))$ 。

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出现了形如 $c \ge w_i$ ， $c \leftarrow c-w_i$ 。考虑按要求排序，然后模拟这个过程，发现有时候会遇到一个比 $c$ 大的数取不了跳过，很难受。那么可以考虑特殊处理这些，设当前 $c \in [2^k,2^{k+1})$ ，那么只要取到一个在 $[2^k,2^{k+1})$ 的数必然就会降级为至多 $[2^{k-1},2^k)$ 。所以关注那些 $<2^k$ 的数，如果这个都取到某个数都不能取了，那么那时候肯定是 $c<2^k$ 。

那么该怎么找到这样一个数呢，考虑在线段树上维护所有 $<2^k$ 的重量和 $sum_k$ ，那么可以线段树二分找到第一个 $sum_k >c$ 的位置，这是第二种情况。再考虑第一种，显然 $c$ 要大于这个 $\ge 2^k$ 的重量和之前所有 $<2^k$ 的重量和，设这两者的和是 $t$ ，那么 $c$ 还得小于之前所有 $\ge 2^k$ 物品的那些 $t$ 值，可以用线段树二分求出。