【学习笔记】倍增分块
倍增分块常用于处理数值递减/递增的问题，形如当 \(a_i \ge x\) 时，使 \(a_i \leftarrow a_i - x\)。
分成 \([2^k,2^{k+1})\) 的若干块。
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暴力就是排个序，然后便利值域，依次加入。加入完 \(i\) 时，遍历到值域第一个不能被组成的位置 \(x\)，\([1,x)\) 的数都是可以被已经加入的数组成的，所以 \(a_{i+1}\) 一定不能大于 \(x\)。一旦大于 \(x\)，\(x\) 这个位置就不能被表示了。那么 \(a_{i+1} \le x\)，加入 \(a_{i+1}\) 会使得下一个不能被组成的位置是 \(x+a_{i+1}\)。找到第一个不行的就行。
考虑优化这个过程，注意到 \(x\) 是单增的，所以用倍增分块。设当前在 \(x \in [2^k,2^{k+1})\)，那么要往后加数，下一个数必然不能大于 \(x\)。所以可以查询 \([2^k,2^{k+1})\) 的最小值，如果最小值小于等于 \(x\)，那么由于最小值 \(a_i \ge 2^k,x \ge 2^k\)，所以 \(x+a_i \ge 2^{k+1}\)，那么这一块的所有数必定可以取走，所以就取走 \([2^k,2^{k+1})\) 所有数加到 \(x\) 里面。每个块预处理用个 st 表就行，复杂度 \(\Theta(n (\log n+ \log V))\)。
CF1515I
出现了形如 \(c \ge w_i\)，\(c \leftarrow c-w_i\)。考虑按要求排序，然后模拟这个过程，发现有时候会遇到一个比 \(c\) 大的数取不了跳过，很难受。那么可以考虑特殊处理这些，设当前 \(c \in [2^k,2^{k+1})\)，那么只要取到一个在 \([2^k,2^{k+1})\) 的数必然就会降级为至多 \([2^{k-1},2^k)\)。所以关注那些 \(<2^k\) 的数，如果这个都取到某个数都不能取了，那么那时候肯定是 \(c<2^k\)。
那么该怎么找到这样一个数呢，考虑在线段树上维护所有 \(<2^k\) 的重量和 \(sum_k\)，那么可以线段树二分找到第一个 \(sum_k >c\) 的位置，这是第二种情况。再考虑第一种，显然 \(c\) 要大于这个 \(\ge 2^k\) 的重量和之前所有 \(<2^k\) 的重量和，设这两者的和是 \(t\)，那么 \(c\) 还得小于之前所有 \(\ge 2^k\) 物品的那些 \(t\) 值，可以用线段树二分求出。
所以每次 \(\log n\)，做最多 \(\log V\) 次，复杂度单次是 \(\Theta(n\log n\log V)\)。
