算法随想Day34【动态规划】| LC509-斐波那契数、LC70-爬楼梯、LC746-使用最小花费爬楼梯

动态规划五部曲

• 确定dp[i]的含义
• dp递推公式
• dp数组如何初始化
• 确认dp数组遍历顺序
• 打印dp数组，主要用于调试

LC509. 斐波那契数

1. dp[i]含义：第i个斐波那契数的值为dp[i]

2. 递推公式：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

3. dp数组初始化：dp[0] = 0，dp[1] = 1

4. 确认dp数组遍历顺序：从前向后

int fib(int n)
{
    if (n < 2)
    {
        return n;
    }
    vector<int> dp(n + 1);
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 1;
    for (int i = 2; i < n + 1; ++i)
    {
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
    }
    return dp[n];
}

LC70. 爬楼梯

动态规划的经典题目，官方的数学解法让自己留下了对线性代数无知的眼泪。

主要是要清除，第 i 阶台阶，必定是从第 i - 1 或 i - 2 阶再一步上来的，所以达到 i 阶的方法数是达到第 i - 1 和 i - 2阶的方法数之和。

1. dp[i]含义：到达第 i 个台阶有dp[i]种方法

2. 递推公式：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]

3. dp数组初始化：dp[0] = 1，dp[1] = 2

4. 确认dp数组遍历顺序：从前向后

int climbStairs(int n)
{
    if (n < 3)  return n;
    //此题因为只需要维护三个变量即可完成
    //因此不一定要定义n个元素的dp数组
    int dp_1 = 1;
    int dp_2 = 2;
    int dp_n = 0;
    for (int i = 3; i <= n; ++i)
    {
        dp_n = dp_1 + dp_2;
        dp_1 = dp_2;
        dp_2 = dp_n;
    }
    return dp_n;
}

LC746. 使用最小花费爬楼梯

1. dp[i]含义：到达第 i 个台阶花费最少为dp[i]

2. 递推公式：dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])；

3. dp数组初始化：dp[0] = 0，dp[1] = 0 （因为可以从第1或第2个台阶开始，所以初始值都为0）

4. 确认dp数组遍历顺序：从前向后

int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost)
{
    int size = cost.size();
    if (size == 2)  return min(cost[0], cost[1]);
    vector<int> dp(size + 1, 0);
    dp[0] = 0;
    dp[1] = 0;
    for (int i = 2; i <= size; ++i)
    {
        dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
    }
    return dp[size];
}